Das Kommutativgesetz - Erklärung

Hallo! Hier ist wieder das Kommutativgesetz. Also nicht ich, sondern das hier ist das Kommutativgesetz. Einmal ist es hier mit Variablen dargestellt, hier mit den Kisten. Du kannst jetzt für die Variablen Zahlen einsetzen, zum Beispiel und hier auch und erhältst beides Mal das gleiche Ergebnis. Du kannst dir das auch mit den Kisten vorstellen, dass du in die Kisten Zahlen einsetzt, ich mach die jetzt gar nicht auf dafür, dann kommt auch hier und hier das gleiche Ergebnis raus und ich habe behauptet, du kannst dich darauf verlassen, dass das immer der Fall ist. Wie kannst du da sicher sein? Nun, ich glaube, dass bisher dir kein Fall bekannt ist, bei dem diese Summe und diese Summe unterschiedlich waren, wenn du für die Variablen a und b Zahlen eingesetzt hast. Allerdings hast du das nicht mit allen Zahlen getestet, da bin ich völlig sicher, denn es gibt viel zu viele Zahlen, kein Mensch kann das mit allen Zahlen testen. Wenn du jetzt wissen willst, ob du dich darauf verlassen kannst oder nicht, wäre es gut also, die Idee dahinter zu verstehen, und dazu leg ich das mal hier an die Seite. Zahlen stehen für bestimmte Größen, zum Beispiel könnte das eine Zahl repräsentieren und das auch.Wenn ich diese beiden Zahlen nebeneinanderlege, haben die eine bestimmte Länge. Wenn ich diese beiden vertausche, dann ist die Länge genauso groß. Das sagt einem der gesunde Menschenverstand, und dir sagt das dein gesunder Menschenverstand vermutlich auch. Das ist die Idee dahinter, das klappt mit allen Zahlen, mit jeder Länge, das kennst du so aus dem Alltag, also es wäre schon sehr verwunderlich, wenn das irgendwann mal nicht der Fall sein sollte. Noch ein Beispiel kann ich zeigen, das ist mit Geld. Mal angenommen, du hast 10 Euro und 5 Euro und addierst die jetzt. Na, welches Pluszeichen nehm ich, dieses hier. Dann könnte es sein, dass du so rum addierst und es dann zum Beispiel mehr wird. Dann könntest du wieder 1 Euro wegnehmen, das zurückersetzen, wieder 10 Euro und 5 Euro vertauschen und dann hättest du wieder 1 Euro mehr hier und den kannst du wieder zurücklegen und ja, das klappt natürlich nicht, das ist Unsinn. Wenn man die Euros vertauscht, bleiben das immer in der Summe gleich viele, das kennst du auch aus dem Alltag, sonst würde sich ja jeder durch dieses einfache Vertauschen ganz viele Euros basteln.
Es geht aber auch mit etwas Böswilligkeit so, dass das Kommutativgesetz nicht unbedingt gilt. Das bedeutet: zum Beispiel könnte ich dir anbieten, das ist ziemlich viel Geld, das sind 265 Euro glaub ich, und hier ist noch 1 Euro. Wenn du jetzt gefragt werden würdest "Möchtest du erst 265 Euro und dann 1 Euro?", zum Beispiel einen Monat später, oder möchtest du das umgekehrt - du kriegst heute 1 Euro und kriegst das restliche Geld einen Monat später - wofür würdest du dich entscheiden? Wahrscheinlich dafür, zunächst das Geld zu nehmen und auf den Euro einen Monat zu warten. Obwohl das in der Summe das Gleiche ist, wäre es für dich nicht das Gleiche, wenn du in dieser Situation wärst. Das ist ein bisschen hakelig, das so zu konstruieren. Es gibt noch eine Konstruktion. Zum Beispiel kann ich diese Hantelscheibe und diesen Schwamm übereinander legen, dann entsteht ein Turm. Also Hantelscheibe + Schwamm. Das kann ich aber auch umgekehrt machen, und du ahnst, was jetzt passiert. Der Turm hat jetzt nicht mehr die gleiche Höhe, weil nämlich die Hantelscheibe den Schwamm platt drückt.
Man kann immer Ausnahmen produzieren dafür, für dieses Kommutativgesetz, aber die eigentliche Idee dahinter, nämlich dass 2 Längen zusammen immer gleich lang sind, egal in welcher Reihenfolge man sie addiert beziehungsweise, dass eine Summe von Zahlen nicht von der Reihenfolge abhängt, die kannst du verstehen und die kannst du auch sinnvoll anwenden. Viel Spaß damit, tschüss.