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Transkript Cosinussatz – Aufgabe (1)

Hallo! Hier ist eine Übungsaufgabe zum Kosinussatz. Wir haben ein Dreieck gegeben. Das hat keine weiteren Eigenschaften, muss nicht rechtwinklig oder sonst was sein. Wir kennen die Seite b=12 cm, die Seite a=9 cm und der Winkel γ=64 Grad. Aufgabe ist, alle weiteren Teile dieses Dreiecks auszurechnen. Die dritte Seite und die beiden anderen Winkel. Ja, wie macht man das? Wir haben den Kosinussatz zur Verfügung, vielleicht kann man den anwenden, und zwar in der Version, wo dann c² am Anfang steht. Wenn wir c ausrechen wollen, dann stellen wir hier fest wir haben a und b und den eingeschlossenen Winkel γ. Da kann man wunderbar den Kosinussatz anwenden, der da lautet: c²=a²+b² (die beiden anderen Seiten)-2abcos des eingeschlossenen Winkels und zwar ist das hier γ. Da muss man jetzt natürlich noch die Zahlen einsetzen, die wir gegeben haben und dann ist die Sache schon fast erledigt. Ich schreibe hier das Entsprechungszeichen hin, weil ich hier jetzt die Zahlen einsetze. Das ist dann 9²=81+b=12²=144+2×9×12×cos(64Grad). Ich weiß nicht, ob man da eine Klammer schreiben muss. Manche schreiben es mit Klammer manche nicht. Ich weiß es nicht, was jetzt gerade wieder in ist. Ich hoffe du nimmst mir das nicht übel, ich kann mich nicht nach allen Schreibweisen richten, wenn die sich voneinander unterscheiden. So und das habe ich heimlich vorbereitet, es kommt dabei heraus, dass c≈11,4. Dann muss man eben gucken, ob das irgendwie größenordnungsmäßig hinhaut. Wir sehen also das c≈b. Wenn ich einen Winkel von 64 Grad habe, bei einem Winkel von 60 Grad könnte es um ein gleichseitiges Dreieck gehen. Wenn einer 64 Grad ist und dann auch so hier in der Nähe der anderen beiden Seiten ist, dann warum nicht? Kann durchaus sein. Man muss das immer so ein bisschen kontrollieren, ob man da richtig gerechnet hat. Ich habe hier auf die erste Stelle nach dem Komma gerundet, und zwar, da hier ganze Zentimeter angegeben sind versuche ich das so zu runden, dass das irgendwie dazupasst. Ich denke mal zweite, dritte Nachkommastelle, wenn ich darauf gerundet hätte, dann wäre das hier sich dabei um cm handelt. Mache ich jetzt aber nicht, ich hoffe wir kommen da klar, dass jetzt hier einfach die cm auftauchen. Dann haben wir die dritte Seite und suchen jetzt noch die beiden Winkel. Wie kriegen wir die Winkel? Da können wir auch den Kosinussatz anwenden. Wenn wir jetzt z.B. α suchen, dann können wir den Kosinussatz, in dem der Kosinus von α vorkommt, nach α umstellen. Man hätte jetzt auch den Sinussatz anwenden können, wenn man 3 Seiten kennt und 1 Winkel, aber da wir ja den Kosinussatz üben, mache ich das mit dem Kosinussatz. In welcher Version des Kosinussatzes von den 3 Versionen, die wir ja haben, kommt der Kosinus α vor? Das ist die Version, in der...Mal eben gucken, α ist hier, die beiden Seiten, die den Winkel α bilden sind B und C und dann muss der Kosinussatz mit a anfangen, und zwar mit a². a²=Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten -2bc×cosα. Das kan ich jetzt nach α umstellen. Ich glaube das ist nicht so kompliziert. Wir rechnen -b², wir rechnen -c² und teilen dann a²-b²-c² durch -2bc=cosα. Das hier kann man noch ein bisschen aufräumen. Wenn wir hier quasi -1 ausklammern-wir können ja rechnen -1×-a²+b²+b² und da können wir hier mit -1 kürzen. Ich glaube das muss ich nicht alles extra zeigen. Dann steht da nämlich: (b²+c²-a²)/2bc=cosα. Wir wollen aber nicht den cosα haben, sondern α selber. D.h. wir müssen die Umkehrfunktion bilden (arc cos oder cos^-1). Das musst du nicht im Kopf ausrechnen cos^-1 von diesem Ding hier, sondern das darf der Taschenrechner für dich machen und das ist gleich α. Dann müsste man noch das einsetzen, was wir bisher rausgefunden haben. Wir brauchen b, wir brauchen a und wir brauchen c. Ich glaube einsetzen ist kein Problem. Das mache ich jetzt nicht alles vor. Nur für dich zum Vergleich, ich habe es ausgerechnet, es kommt ungefähr 25,1 Grad raus. Das schreibe ich jetzt noch eben hin. Das Eintippen in den Taschenrechner muss ich jetzt nicht vorzumachen. Wenn man jetzt den dritten Winkel ausrechnen möchte, könnte man das natürlich auch mit dem Kosinussatz und mit diesem Ding hier, natürlich angepasst auf den Winkel β machen. Aber man kann das auch mit der Winkelsumme im Dreieck viel einfacher berechnen. Alle Innenwinkel ergeben zusammen 130 Grad. Wenn wir schon 45,1 haben und den anderen Winkel von 64 Grad, dann bleibt nur noch ein Winkel übrig, 70,9 Grad und das ist dann der dritte Winkel. Damit haben wir dann alle Dinge hier berechnet, die das Dreieck ausmachen. Alle 3 Winkel, alle 3 Seiten haben wir jetzt, Aufgabe zu Ende. Viel Spass damit, Tschüß

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10 Kommentare
  1. Thomas

    @Huyen N: Du kommst auf diesen Bruch, indem du den Zähler und den Nenner mit (-1) multiplizierst. Anschließend wurde die Reihenfolge der Variablen im Zähler noch verändert. Wenn man den Zähler und den Nenner eines Bruches mit der selben Zahl multipliziert verändert man den Bruch nicht, er wird lediglich erweitert beziehungsweise gekürzt. Hier wurde es gemacht, um kein Minus im Nenner zu haben.
    (a²-b²-c²) / (-2bc) = (-1)*(a²-b²-c²) / (-1)*(-2bc) = (b²+c²-a²) / (2bc)
    Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

    Von Thomas Scholz, vor 10 Monaten
  2. Default

    ich verstehe nicht ganz wie man von (a2-b2-c2):(-2bc) auf (b2+c2-a2):(2bc) kommt?

    Von Huyen N., vor 10 Monaten
  3. Default

    Alles klar, meine frage hat sich schon erledigt! ;)

    Von P Ljuhar, vor etwa 2 Jahren
  4. Default

    Als man die Seite c herausfinden wollte (9²*12²-2*9*12*cos64) kam ich auf ein ganz anderes Ergebnis..woran könnte das liegen?

    Von P Ljuhar, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Unglaublich gut erklärt! :)

    Von Merabell A., vor mehr als 2 Jahren
  1. Flyer wabnik

    @Jan Goeldner 2: Die Mathe-Hotline hier bei sofatutor beantwortet dir gerne deine Frage.

    Von Martin Wabnik, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Im vorherigem Video "Kosinussatz" erklärst du, dass der Cosinussatz mit C²=a²+b-2*a*b*cos(y) defeniert wirst.
    Im Video rechnest du allerdings mit: C²=a²+b+2*a*b*cos(y)
    Setzt man nun die gegebenen Werte ein kommen 2 unterschiedliche Lösungen für c / c² heraus.
    1. c= 11,4
    2. c= 14,56

    Welches der beiden Rechenwege/ Lösungen stimmt und welches nicht?
    Würde mich um eine Rückmeldung freuen...bin verwirrt!

    Von Jan Goeldner 2, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Hat sehr geholfen danke aber ein fehler ist drin der schon im unteren Kommentar genannt wurde =) Respekt mit dem Überkopf schreiben! :D

    Von Dubenkropp, vor etwa 3 Jahren
  4. Default

    Beim Einsetzen der Ziffern muss es doch - 2*9*12*cos (64°) lauten?

    Von Fam Engeland, vor fast 4 Jahren
  5. Photo 00033

    wie gewohnt sehr lehrreich!

    Von Bernadette W., vor mehr als 4 Jahren
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