Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Cosinusfunktion – Achsensymmetrie

Hallo. Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch. Die ist unter anderem zur y-Achse achsensymmetrisch, das möchte ich hier mal eben zeigen, was das bedeutet. Diese beiden Tafeln kommen noch aus einem anderen Film, da habe ich hier auch was dazu geschrieben. Das ist jetzt nicht weiter relevant, sondern nur diese Kurve ist relevant. Rein zufällig habe ich die Tafeln so verwendet, dass jetzt hier in der Mitte der beiden Tafeln die y-Achse ist. Und wenn man jetzt mal die Achsensymmetrie sehen möchte, dann kann ich diese Tafeln zusammenklappen. Wenn ich die also zusammenklappe, dann haben wir hier die echte Achsensymmetrie und dann würden diese beiden Graphen, die beiden Kurven würden deckungsgleich sein, wenn ich die also so zusammenklappe. Das kann man jetzt nicht mehr sehen, aber ich hoffe, du kannst dir das vorstellen. Ja, das ist Achsensymmetrie. Wahrscheinlich weißt du, was Achsensymmetrie ist, aber ich wollte es noch mal eben zeigen. Wie kann man sich das jetzt vorstellen bei einer Kosinusfunktion? Warum ist die eigentlich achsensymmetrisch? Ich meine, man sieht ja den Graphen und dann kann man sich das vielleicht denken, dass das so ist. Aber warum ist es so? Wir überlegen noch mal, wie die Kosinusfunktion definiert ist. Wir haben ja hier so einen Zeiger. Dieser Zeiger geht durch Punkte des Einheitskreises und die Strecke, die von diesem Einheitskreis zur vertikalen Achse führt, das ist der Funktionswert an der Stelle, die dieses Bogenmaß angibt. Oder man kann auch einfach sagen, der Funktionswert ist die x-Koordinate dieses Punktes des Einheitskreises. Hier zählen diese Strecken übrigens zur vertikalen Achse negativ. Wenn jetzt hier mal  Zeiger anfangen zu rotieren, der rote geht in die mathematisch negative Richtung, also mit dem Uhrzeigersinn und der gelbe geht in die mathematisch positive Richtung, und beide sind jetzt quasi so mit 2 Zahlenrädern verbunden, die Winkel, die sie beide produzieren hier, während sie rotieren, sind immer betragsmäßig gleich. Und dann kann man, glaube ich, sehen, dass die Abstände und auch die Strecke, die von diesem Punkt zur vertikalen Achse führen und diese Strecke, die von diesem Punkt zur vertikalen Achse führt, dass die immer gleich groß sind. Hier sind jetzt beide negativ. Sie können auch noch weiter rotieren und sich hier überlagern, also nicht direkt überlagern, sie kreuzen sich da, oder wie man immer sagen will und dann rotieren die hier immer weiter. Und hier zum Beispiel sind die Strecke von diesem Punkt zur vertikalen Achse und die Strecke von diesem Punkt zur vertikalen Achse, sind auch gleich groß. Ich glaube, das reicht an Vorstellung. Nein, eine Sache wollte ich noch zeigen. Wenn man jetzt woanders anfängt, man kann auch hier anfangen. Noch mal von vorne. Hier ist die Kosinusfunktion gleich +1, hier ist die Kosinusfunktion gleich -1. Und ich könnte jetzt auch hier 2 Zeiger in die Gegenrichtung jeweils rotieren lassen, die könnten so rotieren, oder auch so, das ist völlig egal. Wenn sie von hier anfangen und auch immer gleiche Winkel produzieren, also betragsmäßig gleiche Winkel, das ist ja immer der Winkel in die Gegenrichtung, auch dann sind die x-Koordinaten dieser Punkte des Einheitskreises immer gleich. Ich glaube, damit ist das anschaulich hier abgefrühstückt. Ich habe da noch was Formales vorbereitet. So schreibt man das auf, das die Kosinusfunktion achsensymmetrisch ist. Und zwar ist sie achsensymmetrisch zu jedem Hochpunkt und zu jedem Tiefpunkt. Die Hoch- und Tiefpunkte liegen jeweils bei k×pi. Für k kann man irgendeine ganze Zahl einsetzen, deshalb steht da auch k Element Z unten. Das bedeutet, 0×pi ist hier, 1×pi ist hier, da ist ein Tiefpunkt, da ist der Funktionswert gleich -1, 2×pi ist hier, da ist wieder ein Hochpunkt, 3×pi ist ein Tiefpunkt, -1×pi ist ein Tiefpunkt, -2×pi ist ein Hochpunkt, und immer, wenn man da die Achse ansetzt und das Ganze dann umklappt, dann sind die beiden Graphen deckungsgleich und daher also achsensymmetrisch. Ja, so schreibt man das auf, wenn man jetzt zu irgendeinem Hochpunkt oder Tiefpunkt geht, hier, entsprechend k×pi. Dann kann man von da aus wieder in x-Richtung weitergehen. Da oder da jeweils, ob x positiv oder negativ ist und dann auch in die Gegenrichtung gehen, dann wird man immer zu gleichen Funktionswerten kommen. Das ist letzten Endes das, was ich mit den Zeigern vorgemacht habe. Wir starten an irgendeinem Hoch- oder Tiefpunkt, hier also der Tiefpunkt. Wir gehen x in die eine Richtung, x in die andere Richtung und die Funktionswerte für diese Strecken, hier also, sind dann gleich. Das zur Achsensymmetrie, ich glaube, mehr ist nicht zu sagen. Viel Spaß damit. Tschüss.

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Default

    So was von GENIAL!!!!!!!

    Von S Kohler Dibl, vor fast 3 Jahren