Textversion des Videos

Transkript Achilles und die Schildkröte

Hallo! In der Antike gab es einen Läufer, Achilles genannt, der war der schnellste Läufer der Welt. So ist es zumindest überliefert. Und den habe ich hier mal dargestellt: Achilles. Und es gibt ein Paradoxon, was aus dieser Zeit stammt. Nennt sich Achilles und die Schildkröte, und das geht folgendermaßen. In Ermangelung einer Schildkröte möchte ich hier mal meine Geheimwaffe einsetzen, und zwar den hässlichsten Gartenzwerg der Welt. Situation ist die: Beide machen ein Wettrennen, aber, da der Gartenzwerg 10 Mal langsamer ist als Achilles, bekommt er 10 Meter Vorsprung. Wegen der einfachen Zahlen gehen wir mal davon aus, dass Achilles die 10 Meter in 1 Sekunde schafft. Das ist menschenmöglich, es gibt Leute, die 100 Meter in 10 Sekunden laufen können, nehmen wir mal an, das wäre also so. Dann überlegt man sich Folgendes. Wenn also beide loslaufen zum selben Zeitpunkt - der Gartenzwerg mit Vorsprung - dann passiert Folgendes: Achilles wird irgendwann die Stelle erreichen, an der der Gartenzwerg losgelaufen ist. Wenn er diese Stelle erreicht, ist der hässlichste Gartenzwerg der Welt aber schon etwas weiter. Da er 10 Mal langsamer ist, ist er jetzt 1 Meter weiter. Bevor Achilles den Gartenzwerg überholen kann, muss er an der Stelle vorbei, an der der Gartenzwerg war, als Achilles an dieser Stelle war. Wenn Achilles diese Stelle passiert, ist der Gartenzwerg aber schon wieder weiter. Und wenn Achilles zu dem Punkt kommt, ist der Gartenzwerg auch wieder weiter. Und immer so weiter, immer so weiter. Das heißt: Achilles kann den Gartenzwerg niemals überholen. Das ist das Paradoxon.   Wie kann man das jetzt lösen? Also, paradox ist die Sache deshalb, weil natürlich klar ist, dass Achilles irgendwann den Gartenzwerg überholt, ich meine, sogar ich würde den Gartenzwerg überholen, und Achilles ist sicher schneller als ich. Das ist klar. Aber wie kann man das auflösen, dass der Gartenzwerg immer weiter ist? Immer wenn Achilles da hinkommt, ist er ja schon wieder weiter. Das geht so, indem man sich vorstellt; welche Zeitpunkte betrachten wir eigentlich, wenn wir diese Methode machen, die ich gerade vorgeführt habe? Welche Zeitpunkte sind das? Und da werden wir feststellen, es sind alles nur Zeitpunkte, die vor dem Überholvorgang liegen und dann ist die Sache ja relativ einfach. Wenn ich nur dann hingucke, wenn Achilles den Zwerg noch nicht überholt hat, dann ist es ja klar, dass er ihn nicht überholt. Das sind aber nicht alle Zeitpunkte, die es gibt in diesem Rennen. Es gibt spätere Zeitpunkte, da hat er ihn überholt, aber da gucke ich dann gar nicht hin bei dieser Methode, die ich jetzt gezeigt habe.   Also, ich spule das noch mal zurück. Sagt man überhaupt noch Zurückspulen? Weiß ich nicht. Also, das kommt ja noch von Musikkassetten oder Videokassetten, wo man zurückspulen konnte. Heute geht das ja irgendwie nicht mehr. Egal, ich werde zurückspulen sagen. Also: noch mal zurück alles. Wir gucken mal, wie das zahlenmäßig aussieht hier. Der Achilles läuft 1 Sekunde und ist dann 10 Meter weiter. In dieser Zeit läuft der Gartenzwerg 1 Meter. Achilles braucht für diesen Meter 1/10 Sekunde. Der Gartenzwerg ist weiter - weil er 10 Mal langsamer ist, hat er jetzt 10 cm geschafft. Achilles läuft hinterher und braucht für diese 10 cm 1/100 Sekunde. Der Gartenzwerg ist ebenfalls weiter, diesmal aber nur 1 cm. Für diesen 1 cm braucht Achilles 1/1000 Sekunde. Und wenn man das jetzt immer so weitermacht, dann kommt man nur zu Zeitpunkten, die vor dem Überholvorgang liegen. Aber da schaltet sich wieder der gesunde Menschenverstand ein und man sagt sich: Wenn ich aber immer was addiere, wenn ich immer zu einem späteren Zeitpunkt gucke, dann erreiche ich doch irgendwann jeden Zeitpunkt, wenn ich immer später gucke. Oder, um das auf die heutige Zeit zu übertragen: Es könnte sein, dass du gerade einen Film guckst. Nehmen wir mal an, es wäre so. Da siehst du jetzt jemanden, der hinter einem blauen Tisch sitzt. Mal angenommen, du spulst von jetzt an 1 Sekunde vor, dann wirst du wieder einen sehen, der hinter einem blauen Tisch sitzt. Angenommen, du spulst dann noch 1/10 Sekunde vor, dann siehst du wieder einen, der hinter einem blauen Tisch sitzt, nach der nächsten 1/100 Sekunde genauso, genauso, genauso und so weiter. Falsch wäre es aber zu behaupten, in diesem Film sitzt immer einer hinter einem blauen Tisch, denn das stimmt gar nicht. Wie kommt es aber, dass man immer was addiert, also den Film immer weiter und immer weiter vorspult, aber nicht bis zum Ende kommt?   Und das möchte ich mal ein bisschen mathematischer zeigen, und zwar mit einer anderen Folge, wo man das vielleicht ein bisschen einfacher sehen kann. Das möchte ich mal räumlich zeigen, weil das Zeitliche in einem Film etwas schwieriger ist. Ich habe hier eine Strecke, die habe ich in 2 gleiche Teile geteilt. Das soll mal unsere Einheit sein, diese Strecke soll mal die Länge 1 haben, eine Einheit, wie auch immer. Wenn ich jetzt zu dieser Einheit die Hälfte der übrig gebliebenen Strecke addiere, also ungefähr hier, dann hat diese Strecke hier - also von da bis da - die Länge ½. Zu diesen beiden, zur Summe der Beiden, möchte ich jetzt die Hälfte der übrig gebliebenen Strecke hinzuaddieren. Die Hälfte der übrig gebliebenen Strecke ist ¼. Dazu - zu dem Gesamten - möchte ich jetzt die Hälfte der übrig gebliebenen Strecke hinzuaddieren, und das ist 1/8. Und dazu wieder die Hälfte der übrig gebliebenen Strecke, und so weiter. Mit dieser Methode komme ich niemals bis zur 2. Und zwar deshalb, weil ich immer das übrig Gebliebene nehme, durch 2 teile, und nur die Hälfte dessen dazu addiere. Das heißt, nach jedem Vorgang bleibt ja ein Teil übrig. Prinzipiell. Und deshalb komme ich mit dieser Sache niemals bis zur 2. Wenn du also diesen Film vorspulen würdest - 1 um 1 Sekunde, dann um ½, ¼, 1/8, 1/16, und so weiter, dann würdest du niemals den Film um 2 Sekunden vorspulen können.   Mit dieser Methode ist es noch schlimmer. Wenn wir zu 1 1/10, 1/100, 1/100 und so weiter addieren -rechne ich jetzt nicht nach, wo man da ankommt -  auf jeden Fall ist das unter 2, weil nämlich 1/10 kleiner ist als ½, 1/100 ist kleiner als ¼, 1/1000 ist kleiner als 1/8, und so weiter. Das, was wir hier addieren, ist kleiner, als das, was wir hier addieren. Mit der größeren Zahlenreihe kommen wir nicht zur 2, mit der kleineren erst recht nicht. Das heißt also, es ist tatsächlich möglich, diesen Film immer weiter vorzuspulen, und trotzdem nicht zum Ende zu kommen. Und wenn wir also diese Zeitpunkte nehmen und uns angucken, was passiert zu diesen Zeitpunkten während des Rennens, dann ist klar: Diese Zeitpunkte liegen alle vor dem Überholvorgang, und wenn wir nur die Zeitpunkte angucken - ja klar - dann überholt Achilles zu diesen Zeitpunkten nicht. Aber später macht er das sehr wohl, und zwar ziemlich schnell.   Ich hoffe, ich habe dieses Paradoxon hinreichend aufklären können, viel Spaß damit, tschüss!

Informationen zum Video