30 Tage risikofrei testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte im Basis- oder Premium-Paket.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

30 Tage risikofrei testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Zufrieden oder Geld zurück, eine Mail an kein-risiko@sofatutor.com genügt (30 Tage ab Kauf).

Was sind periodische Vorgänge?

Es gibt Vorgänge, die sich im gleichen Zeitraum oder in gleichen Abständen immer genau gleich wiederholen. Solche Vorgänge nennt man periodische Vorgänge.

Beispiele

1007_Kühlschrank.jpg

  • Ein Kühlschrank ist auf eine bestimmte Temperatur eingestellt. Der ungeöffnete Kühlschrank erwärmt sich bis zu einer gewissen Temperatur und wird dann wieder auf die Ausgangstemperatur herab gekühlt. Dieser Vorgang wiederholt sich in bestimmten Abständen. Bei etwas älteren Modellen kann man dieses Abkühlen auch hören.
  • Die Atmung eines Menschen ist periodisch.
  • Jeder Wochentag wiederholt sich alle sieben Tage. Auch dies ist ein periodischer Vorgang.
  • Du hast jedes Jahr am gleichen Tag Geburtstag.

Die kleinste Länge (der kleinste Zeitraum) nach dem sich ein Vorgang wiederholt, wird als Periodenlänge (Periodendauer) $T$ bezeichnet.

Die Frequenz $f$ eines periodischen Vorganges gibt, an wie oft sich der periodische Vorgang in einem gegebenen Zeitraum $Z$ wiederholt. Sie lässt sich wie folgt berechnen.

$\quad f=\frac1T\cdot Z$

Mit diesen Größen lassen sich periodische Vorgänge beschreiben.

Periodenlänge und Frequenz

Schau dir nochmal die obigen Beispiele an:

  • Die Periode des Abkühlens bei einem Kühlschrank hängt sicher von den entsprechenden Temperaturen ab. Sei die Periode zum Beispiel $10~min$, dann kann damit die Frequenz berechnet werden. Die Frequenz gibt an, wie häufig sich der periodische Vorgang in einem gegebenen Zeitraum wiederholt. Willst du wissen, wie oft sich der Aufwärm- und Abkühlvorgang beim Kühlschrank in einer Stunde, also $60~min$ wiederholt, rechnest du

$\quad ~~ f=60~min~\cdot ~\frac 1{10~min}= 6 $

  • Die Periode bei der menschlichen Atmung beträgt ungefähr $3~s$. Damit kann die Häufigkeit der Atmung pro Minute berechnet werden. Diese Zahlen variieren natürlich.

$\quad ~~ f= 60~s~\cdot\frac 1{3~s}= 20 $

  • Die Periode von Wochentagen ist $T=7$ Tage. Alle $7$ Tage wiederholt sich der Vorgang genau einmal.
  • Dein Geburtstag wiederholt sich jedes Jahr. Also ist die Periode $1$ Jahr.

Die Sinusfunktion

Die Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ ist ein Beispiel für eine periodische Funktion.

Eine Funktion $f(x)$ ist eine periodische Funktion, wenn mindestens eine Zahl $p$ existiert, dass für alle $x$ gilt $f(x+p)=f(x)$. Die kleinste Zahl, die dies erfüllt, ist die Periodenlänge.

Hier siehst du den Graphen der Sinusfunktion.

1007_Sinusfunktion.jpg

Erkennst du die Periodenlänge? Richtig: Diese ist $2~\pi$.

$\pi=3,1415...$ ist die sogenannte Kreiszahl.

Modellierung von periodischen Vorgängen

Mit Hilfe der Sinusfunktion können periodische Vorgänge modelliert werden:

$f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$

Hierfür benötigst du

  • den maximalen Wert,
  • den minimalen Wert sowie
  • das arithmetische Mittel dieser beiden Werte.

Wie können nun die einzelnen Parameter bestimmt werden?

Dafür betrachten wir als Beispiel die menschliche Atmung.

1007_Lunge.jpg

Ein Mensch atmet pro Minute 20 mal ein und aus. Dadurch ändert sich das Lungenvolumen. Am Ende einer Einatmung befinden sich ungefähr $6,5~L$ Luft in der Lunge, am Ende einer Ausatmung $1,2~L$. Das Befüllen und Entleeren der Lunge kann als periodischer Prozess modelliert werden.

  • Der maximale Wert ist $6,5~L$,
  • der minimale $1,2~L$.
  • Das arithmetische Mittel beträgt

$\quad~~ \frac{6,5+1,2}2=3,85~L$

Die Periode ist gegeben durch $T=\frac{60~s}{20}=3~s$ und die Frequenz (pro Minute) ist die angegebene Zahl der Atemzüge $20$.

  • Der Parameter $a$ steht für die Amplitude. Dies ist die maximale Abweichung der Werte von dem arithmetischen Mittel. Hier ist

$\quad~~ a=\frac{6,5-1,2}2=2,65$

  • Der Paramater $b$ berechnet sich wie folgt

$\quad~~ b=\frac{2~\pi}T=\frac{2~\pi}3\approx 2,09$

  • Der Parameter $d$ ist der Wert, an dem erstmals das arithmetische Mittel angenommen wird, bevor ein maximaler Wert erreicht wird. Wenn man zum Beispiel $x=0$ als Beginn einer Einatmung betrachtet, dann ist $d=0$.
  • Der Parameter $e$ ist das arithmetische Mittel, also $e=3,85$.

Gesamt ist die menschliche Atmung somit modelliert durch

$f(x)=2,65\cdot \sin(2,09x)+3,85$

Der zugehörige Verlauf ist hier zu sehen.

1077_Lungenfunkion.jpg

In rot hervorgehoben ist der Verlauf der periodischen Funkion auf einer Periodenlänge $[0;3]$.

Videos in diesem Thema

Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (1)

Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (1)

Hallo und herzlich willkommen zu meinem Video zu den periodischen Funktionen. Wenn man „ periodisch “ beim Duden nachschlägt, so erhält man die Erklärung: „ in gleichen…

Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (2)

Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (2)

Hallo und herzlich willkommen zu meinem zweiten Teil über die periodischen Funktionen. Im ersten Video habe ich dir bereits die Definition periodischer Funktionen…

Was sind periodische Vorgänge?

Was sind periodische Vorgänge?

Mit Hilfe der Bewegung des Ventils von Karstens Hinterrad am Fahrrad erfährst du: Periodische Vorgänge wiederholen sich immer gleich und in gleichen zeitlichen oder…

Periodische Vorgänge beschreiben

Periodische Vorgänge beschreiben

Du lernst, dass die Atmung eines Menschen als periodischer Vorgang durch einen Graphen beschrieben werden kann. Aus dem Graphen ermittelst du die Periodendauer und die…

Periodische Vorgänge erkennen – Übung

Periodische Vorgänge erkennen – Übung

Du lernst zu beurteilen, ob ein Vorgang periodisch ist oder nicht. Dabei achtest du, wie ein Arzt bei der Untersuchung des Herzens eines Patienten, zunächst auf…

Periodische Vorgänge – Periodenlänge bestimmen

Periodische Vorgänge – Periodenlänge bestimmen

Bei periodischen Vorgängen interessiert uns unter anderem die Periodenlänge. Was aber, wenn man diese nicht aus einer Grafik ablesen kann? Dann muss man sie berechnen!…

Periodische Vorgänge – Schaubilder interpretieren

Periodische Vorgänge – Schaubilder interpretieren

Kann ein größeres Ausflugsschiff niemals in einem Kleinhafen an der Nordsee vor Anker gehen? Doch! Wann? Das finden wir gemeinsam durch die richtige Analyse des Graphen…

Periodische Vorgänge modellieren

Periodische Vorgänge modellieren

In diesem Video lernst Du, was periodische Vorgänge sind und lernst eine Definttion dazu kennen. Weiterhin erfährst Du an einem Beispiel, wie sich die Parameter aus der…

Periodische Vorgänge modellieren – Beispiele

Periodische Vorgänge modellieren – Beispiele

Du kennst bereits die Sinusfunktion und weißt, dass man periodische Vorgänge, die uns jeden Tag begegnen, durch mathematische Modelle beschreiben kann. In diesem Video…

Periodische Vorgänge modellieren – Übung

Periodische Vorgänge modellieren – Übung

In diesem Video erhältst Du die Möglichkeit, das Modellieren periodischer Prozesse zu üben. Du konstruierst selbständig den Graphen der Funktion und stellst die…

Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Periodische Vorgänge beschreiben und modellieren

062e79aa79bdf2091524f63213463add 1

Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (1)

Anzeigen Herunterladen
27ff9aaef11e4855106b4f1ad24ebcc8 1

Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (2)

Anzeigen Herunterladen
11781 was sind periodische vorgaenge vorschaubild

Was sind periodische Vorgänge?

Anzeigen Herunterladen
11782 periodische vorgaenge beschreiben vorschau

Periodische Vorgänge beschreiben

Anzeigen Herunterladen
Vorschaubild

Periodische Vorgänge erkennen – Übung

Anzeigen Herunterladen
15729 modellierung periodischer vorg%c3%a4nge

Periodische Vorgänge modellieren

Anzeigen Herunterladen
669a9a41a410f4b05272edc938d84988 1

Periodische Vorgänge modellieren – Beispiele

Anzeigen Herunterladen
17153 modellieren periodischer vorg%c3%a4nge   %c3%9cbung.standbild001

Periodische Vorgänge modellieren – Übung

Anzeigen Herunterladen