Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit

Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit Übung

• Beschreibe die Umlaufdauer und die Frequenz einer Kreisbewegung.

  Tipps

  Der Zusammenhang zwischen der Frequenz $f$ und der Umlaufdauer $T$ wird durch folgende Formel ausgedrückt:

  $f=\dfrac{1}{T}$

  Eine Zeit bzw. eine Dauer wird in Sekunden $s$ angegeben.

  Lösung

  Zwei der wichtigsten Größen einer Kreisbewegung sind die Umlaufdauer und die Frequenz:

  Die Umlaufdauer wird mit dem Formelzeichen $T$ bezeichnet und gibt die Zeit an, die der Körper für einen Umlauf der Kreisbahn benötigt. Sie wird in Sekunden $(\text{s})$ angegeben. Wenn mehrere Umläufe gemacht werden, teilen wir die dafür benötigte Zeit $t$ durch die Anzahl der Umläufe, um die Umlaufdauer $T$ zu berechnen:

  $T=\dfrac{t}{n}$

  Beispiel:
  Beim Hammerwerfen gibt die Umlaufdauer die Dauer an, die der Hammer beim Schwingen für einen Umlauf benötigt. Wenn der Sportler bzw. die Sportlerin den Hammer zweimal um sich schwingt, also zwei Umläufe macht, haben wir $n = 2$.

  Die Frequenz wird mit dem Formelzeichen $f$ bezeichnet und gibt an, wie viele Umläufe pro Sekunde erfolgen. Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:

  $f=\dfrac{1}{T}$

  Ihre Einheit ist $1~\dfrac{1}{\text{s}}$. Diese nennen wir auch Hertz $(\text{Hz})$.

  Beispiel:
  Die Reifen eines Rennwagens schaffen $250$ Umdrehungen, also Umläufe, pro Sekunde und besitzen damit eine Frequenz von $250\,\text{Hz}$.

• Definiere die Kenngrößen einer Kreisbewegung.

  Tipps

  Wenn mehrere Umläufe gemacht werden, dann teilen wir die dafür benötigte Zeit $t$ durch die Anzahl der Umläufe $n$, um die Umlaufdauer $T$ zu berechnen.

  Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:

  $f=\dfrac{1}{T}$

  Ihre Einheit ist $1\,\dfrac{1}{\text{s}}= 1\, \text{Hz}$.

  Für die Bahngeschwindigkeit gilt:

  $v=\dfrac{2 \pi r}{t}$

  Lösung

  Eine Kreisbewegung kann durch vier Kenngrößen beschrieben werden:

  • Umlaufdauer $T$
  • Frequenz $f$
  • Bahngeschwindigkeit $v$
  • Winkelgeschwindigkeit $\omega$

  Wir betrachten die vier Größen nun genauer:

  Die Umlaufdauer wird mit $T$ bezeichnet. Sie gibt die Zeit an, die der Körper für einen Umlauf der Kreisbahn benötigt. Die Einheit der Umlaufdauer ist Sekunde ($\text{s}$). Wenn mehrere Umläufe gemacht werden, teilen wir die dafür benötigte Zeit $t$ durch die Anzahl der Umläufe, um die Umlaufdauer $T$ zu berechnen:

  $T=\dfrac{t}{n}$

  Die Frequenz wird mit $f$ bezeichnet. Sie gibt an, wie viele Umläufe pro Sekunde erfolgen. Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:

  $f=\dfrac{1}{T}$

  Ihre Einheit ist $1\,\dfrac{1}{\text{s}}$. Diese nennen wir auch Hertz ($\text{Hz}$).

  Die Bahngeschwindigkeit wird mit $v$ bezeichnet. Sie gibt an, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt. Wir können sie mit

  $v=\dfrac{2 \pi r}{t}$ berechnen. Ihre Einheit ist $1\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

  Die Winkelgeschwindigkeit wird mit $\omega$ bezeichnet. Sie gibt an, wie schnell der Drehwinkel überstrichen wird. Wird der Winkel im Bogenmaß angegeben, so gilt:

  $\omega=\dfrac{2 \pi}{t}$

  Die Winkelgeschwindigkeit ist also unabhängig vom Radius. Ihre Einheit ist $1\,\dfrac{1}{\text{s}}$.

  Wird der Winkel in Grad angegeben, so gilt:

  $\omega=\dfrac{360^\circ}{t}$

• Berechne die Bahngeschwindigkeit des Mondes.

  Tipps

  Achte darauf, die Einheiten umzuwandeln.

  Da die Bahngeschwindigkeit in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ angegeben werden soll, müssen wir die Entfernung in Meter umwandeln. Es gilt:

  $1\,\text{km} = 1\,000\,\text{m}$

  Beispiel:

  $567\,\text{km} = 567\,000\,\text{m}$

  Die Zeit ist in Tagen angegeben, gesucht sind aber Sekunden. Es gilt:

  • $1$ Tag $= 24$ Stunden
  • $1$ Stunde $= 60$ Minuten
  • $1$ Minute $= 60$ Sekunden

  Beispiel:
  $3$ Tage $= 72$ Stunden $= 4\,320$ Minuten $= 259\,200$ Sekunden

  Die Formel der Bahngeschwindigkeit lautet:

  $v=\dfrac{2 \pi r}{T}$

  Lösung

  Die Bahngeschwindigkeit gibt bei einer Kreisbewegung an, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt. Sie wird mit $v$ bezeichnet.
  Wir berechnen sie, indem wir die zurückgelegte Strecke (der Umfang des Kreises) durch die dafür benötigte Zeit (die Umlaufdauer) dividieren:

  $v=\dfrac{2 \pi r}{T}$

  Bei der Berechnung der Bahngeschwindigkeit des Mondes müssen wir berücksichtigen, dass diese in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ angegeben werden soll. Wir müssen daher zunächst die Einheiten umwandeln. Es gilt:

  $1\,\text{km} = 1\,000\,\text{m}$

  • $1$ Tag $= 24$ Stunden
  • $1$ Stunde $= 60$ Minuten
  • $1$ Minute $= 60$ Sekunden

  Damit erhalten wir für unsere Werte:

  $384\,000\,\text{km} = 384\,000\,000\,\text{m}$

  $27$ Tage $= 648$ Stunden $= 38\,880$ Minuten $= 2\,332\,800$ Sekunden

  Damit ergibt sich:

  $\begin{array}{ll} v &= \dfrac{2 \pi r}{T} =\dfrac{2 \pi \cdot 384\,000\,000\,\text{m}}{2\,332\,800\,\text{s}} \\ &\approx 1034{,}3 \, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\end{array}$

• Bestimme die fehlenden Größen.

  Tipps

  Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell der Drehwinkel überstrichen wird. Wird der Winkel im Bogenmaß angegeben, so gilt:

  $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}$

  Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:

  $ f=\dfrac{1}{T}$

  Die Bahngeschwindigkeit $v$ kannst du mit folgender Formel berechnen:

  $v= \dfrac{2 \pi r}{T}$

  Um anhand der Bahngeschwindigkeit die Umlaufdauer zu ermitteln, musst du die Formel umstellen:

  $v=\dfrac{2 \pi r}{T} \quad \Leftrightarrow \quad T= \dfrac{2 \pi r}{v}$

  Lösung

  Um die Aufgaben zu bearbeiten, müssen wir die folgenden Größen einer Kreisbewegung kennen:

  • Die Umlaufdauer $T$ gibt die Zeit an, die der Körper für einen Umlauf der Kreisbahn benötigt.
  • Die Frequenz $f$ gibt an, wie viele Umläufe pro Sekunde erfolgen.

  Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:
  $f=\dfrac{1}{T}$

  • Die Bahngeschwindigkeit $v$ gibt an, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt.

  Wir können sie berechnen mit:
  $v=\dfrac{2 \pi r}{T}$

  • Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell der Drehwinkel überstrichen wird.

  Wird der Winkel im Bogenmaß angegeben, so gilt:
  $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}$

  Wir betrachten damit die einzelnen Beispiele:

  Beispiel 1:

  Eine Kugel dreht sich an einer $3\,\text{m}$ langen Kette $4$ Male pro Minute.

  $T= 60:4\,\text{s} = 15\,\text{s}$

  $\omega = \dfrac{2 \pi}{T} = \dfrac{2 \pi}{15\,\text{s}} \approx 0{,}4\,\dfrac{1}{\text{s}}$

  Beispiel 2:

  Ein Wagen fährt auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius $r=15\,\text{m}$. Pro Umlauf benötigt er $40\,\text{s}$.

  $f=\dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{40\,\text{s}} = 0{,}025\,\dfrac{1}{\text{s}}$

  $v= \dfrac{2 \pi r}{T} = \dfrac{2 \pi \cdot 15\,\text{m}}{40\,\text{s}}\approx 2{,}4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Beispiel 3:

  Ein Körper dreht sich auf einer Kreisbahn mit Radius $r=3\,\text{m}$ mit der konstanten Bahngeschwindigkeit $v=30\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

  $\begin{array}{ll}&v=\dfrac{2 \pi r}{T} \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \\ &T= \dfrac{2 \pi r}{v} = \dfrac{2 \pi \cdot 3\,\text{m} }{30\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 0{,}6 \,\text{s}\end{array}$

• Gib an, bei welchen Bewegungen es sich um eine Kreisbewegung handelt.

  Tipps

  Kreisbewegung bedeutet, dass ein Körper sich im Kreis bewegt.

  Fährt ein Auto geradeaus, so handelt es sich nicht um eine Kreisbewegung.

  Lösung

  Kreisbewegung bedeutet, dass ein Körper sich im Kreis bewegt: Der Körper erreicht nach einem Umlauf erneut die Startposition.

  Damit sind die folgenden Beispiele Kreisbewegungen:

  • Ein Hammer wird beim Hammerwerfen geschwungen.

  Der Hammerwerfer bzw. die Hammerwerferin schwingt den Hammer in einer Kreisbewegung um sich selbst.

  • Ein Karussell dreht sich.

  Die Kinder auf dem Karussell bewegen sich auf ihren Plätzen durch das drehende Karussell in einer Kreisbewegung.

  
  Die anderen Beispiele sind keine Kreisbewegungen:

  • Ein Ball wird geworfen.

  Der Ball bewegt sich nicht auf einer Kreisbahn, sondern auf einer Parabelbahn.

  • Ein Apfel fällt vom Baum.

  Der Apfel bewegt sich geradlinig nach unten und kann nicht – wie auf einer Kreisbahn – zum Startpunkt zurück.

  • Ein Auto startet an einer Ampel.

  Das Auto bewegt sich geradlinig nach vorn, also nicht auf einer Kreisbahn.

• Überprüfe die Aussagen.

  Tipps

  Die Bahngeschwindigkeit $v$ steht in folgendem Zusammenhang zur Umlaufdauer $T$ und zur Frequenz $f$:

  $v=\dfrac{2 \pi r}{T} = 2 \pi r \cdot f$

  Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell Marta auf dem Karussell einen Drehwinkel überstreicht.

  Lösung

  Bei einer Kreisbewegung müssen wir die vier folgenden Größen unterscheiden:

  • Die Umlaufdauer $T$ gibt die Zeit an, die der Körper für einen Umlauf der Kreisbahn benötigt.
  • Die Frequenz $f$ gibt an, wie viele Umläufe pro Sekunde erfolgen.

  Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:
  $f=\dfrac{1}{T}$

  • Die Bahngeschwindigkeit $v$ gibt an, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt.

  Wir können sie berechnen mit:
  $v=\dfrac{2 \pi r}{T}$ berechnen.

  • Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell der Drehwinkel überstrichen wird.

  Wird der Winkel im Bogenmaß angegeben, so gilt:
  $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}$

  
  Damit können wir die gegebenen Aussagen überprüfen:

  • Je größer die Frequenz $f$ ist, umso kleiner ist die Bahngeschwindigkeit $v$.

  Für die Bahngeschwindigkeit gilt:

  $v=\dfrac{2 \pi r}{T} = 2 \pi r \cdot f$, da $f=\dfrac{1}{T}$

  Somit gilt: Je größer die Frequenz ist, umso größer ist die Bahngeschwindigkeit, da zur Berechnung der Bahngeschwindigkeit die Frequenz mit $2 \pi r$ multipliziert wird. Die Aussage ist demnach falsch.
  Bei größerer Frequenz bewegt sich Timos Schwester also schneller.

  • Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist unabhängig vom Radius $r$.

  Für die Winkelgeschwindigkeit gilt:

  $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}$

  Da in der Formel der Radius nicht vorkommt (im Gegensatz zur Formel der Bahngeschwindigkeit), ist die Winkelgeschwindigkeit unabhängig vom Radius. Die Aussage ist also richtig.
  Egal auf welcher Position auf dem Karussell Timos Schwester sitzt, die Winkelgeschwindigkeit ist gleich.

  • Die Bahngeschwindigkeit $v$ ist proportional zur Umlaufdauer $T$.

  Für die Bahngeschwindigkeit gilt:

  $v=\dfrac{2 \pi r}{T}$

  Weil die Umlaufdauer $T$ im Nenner steht, ist die Bahngeschwindigkeit nicht proportional zu $T$, sondern antiproportional. Die Aussage ist also falsch.
  Je größer die Umlaufdauer, umso langsamer bewegt sich Timos Schwester auf der Kreisbahn.

  • Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist proportional zur Frequenz $f$.

  Für die Winkelgeschwindigkeit gilt:

  $\omega=\dfrac{2 \pi}{T} = 2 \pi \cdot f$, da $f=\dfrac{1}{T}$

  Da zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit die Frequenz mit $2 \pi$ multipliziert wird, ist die Aussage richtig.