Zwischenwertsatz 03:37 min

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Transkript Zwischenwertsatz

Hallo! In diesem Video möchte ich euch den Zwischenwertsatz vorstellen. Erst mal möchte ich den Satz zitieren. Sei f vom abgeschlossenen Intervall [a;b] nach |R eine reelle stetige Funktion, dann existiert zu jedem Zwischenwert y0 aus dem Intervall der Funktionswerte von a und b, also aus f(a), f(b), falls f(a)?f(b) ist, bzw. aus f(b), f(a), falls f(a)>f(b) ist. Zu jedem solchen Zwischenwert gibt es auch ein x0 aus dem Intervall [a;b], sodass f(x0)=y0 ist. Also, wenn die Funktion stetig ist, hat jeder Zwischenwert auch ein Urbild aus dem Intervall [a;b]. Jetzt verdeutlichen wir uns noch mal am Graphen, was das heißt. Wir haben also 2 x-Werte, a und b, den Graphen der Funktion, und dann damit die entsprechenden Funktionswerte von a und b. Dann sagt der Satz, wenn die Funktion stetig ist, können wir uns also ein beliebiges y0 zwischen f(a) und f(b) aussuchen, und wir finden auf jeden Fall ein x0 aus dem Intervall [a;b], das zu dem y0 dazugehört. Und wenn wir uns den Zwischenwert y1 nehmen, dann kriegen wir den Wert x1 aus dem Intervall [a;b]. Und irgendwie ist das Ganze auch einleuchtend, denn wenn die Funktion von dem Wert f(a) zu dem Wert f(b) wandert und stetig ist, dann kann sie ja nicht irgendwo springen. Dann muss sie wirklich jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mal berühren, sozusagen, mal durchlaufen, und zwar, bevor sie bei b ankommt. Das heißt, zu dem y-Wert gibt es dann auch wirklich einen x-Wert in dem Intervall [a;b]. Nehmen wir mal an, der Satz wäre falsch. Wir nehmen uns wieder 2 Werte, a und b und die entsprechenden Funktionswerte und dann sagen wir, zu diesem y0 gibt es kein x0 aus dem Intervall [a;b], das das y0 als Funktionswert hat. Da kann die Funktion dann vorher machen, was sie will. Aber irgendwann muss sie an der Höhe y0 vorbei, weil sie ja bis von f(b) kommen muss. Und wenn sie da dann wirklich keinen x-Wert hat, müsste sie quasi eine Definitionslücke haben. Oder sie geht bis zu der Höhe und springt dann, um daran vorbeizukommen. So, in beiden Fällen wäre aber dann die Funktion nicht stetig, ist also die Voraussetzung unseres Satzes gar nicht erfüllt. Schauen wir uns also mal z. B. die Funktion f(x)=(x3)-(4x2)+7 an, und als Intervall [a;b] nehmen wir das Intervall [1;2], dann berechnen wir f(1), das ist 4, und f(2), das ist -1, dann ist also unser Intervall [f(b);f(a)] aus dem Satz das Intervall [-1;4], und dann sagt uns der Satz jetzt, dass es für jede Zahl y0 zwischen -1 und 4 eine Zahl x0 zwischen 1 und 2 gibt, sodass f(x0)=y0 ist. Das heißt, wir wissen z. B., weil die 0 in dem Intervall [-1;4] ist, dass die Funktion (x3)-(4x2)+7 eine Nullstelle zwischen 1 und 2 haben muss. Und das ist eigentlich auch die häufigste Anwendung des Zwischenwertsatzes, nämlich, dass man Intervalle eingrenzen kann, in denen eine bestimmte ganzrationale Funktion oder irgendeine andere stetige Funktion auf jeden Fall eine Nullstelle haben muss. Und das war´s dann auch schon zum Zwischenwertsatz.

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1 Kommentar
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    Ein wichtiges Problem des Zwischenwertsatzes wurde nicht berücksichtigt eine Funktion die f(x)=1/x ist auf R\{0} stetig. Der Zwischenwertsatz kann hier kaum zum einsatz kommen, da sie für Null nicht definiert ist.

    Von Deleted User 4229, vor mehr als 7 Jahren