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Transkript Zufallsvariable – Erklärung

Hallo! Zufallsvariable und Zufallsgröße bezeichnet dieselbe Sache, zwei verschiedene Begriffe für ein und dasselbe. Eine Funktion ist eine Zufallsgröße bzw. Zufallsvariable, wenn sie den Ergebnissen eines Zufallsversuchs irgendwelche Dinge zuordnet. Das ist also eine ganz normale Funktion, nur mit der Besonderheit, dass die Dinge, die abgebildet werden, also die Dinge, denen etwas zugeordnet wird, Ergebnisse eines Zufallsversuchs sein sollen. Das habe ich hier mal in einem etwas einfachen, schon fast unsinnigen Fall aufgeschrieben. Angenommen e1, e2, e3, e4 sind mögliche Ergebnisse eines Zufallsversuchs, dann kann man den Ergebnissen Vierecke, Dreiecke und Kreise zuordnen. Hier sind zwei Vierecke zugeordnet worden, ein Dreieck und ein Kreis. Ich habe das deshalb mit so einem Beispiel modelliert, um deutlich zu machen, was eine Zufallsgröße eigentlich ist. Normalerweise sind die Beispiele, die du nachlesen kannst, etwas komplizierter. Ich wollte hier ganz klar herausschälen, was der Kern der ganzen Angelegenheit ist, und zwar einfach eine Funktion, die etwas zuordnet, die den Ergebnissen eines Zufallsversuchs etwas zuordnet. Meistens, in der Praxis, hat man reelle Zufallsgrößen bzw. reelle Zufallsvariablen. Das bedeutet, dass den möglichen Ergebnissen eines Zufallsversuchs Zahlen zugeordnet werden. Das können einfach irgendwelche Zahlen sein. Es ist völlig egal was, \sqrt2 darf auch dabei sein als irrationale Zahl und die 0 darf auch dabei sein. Die Zahlen müssen hier nicht zwischen 0 und 1 liegen, sie können irgendwas sein, also auch das hier. Diese Funktion, die den vier Ergebnissen diese Zahlen zuordnet, ist eine Zufallsvariable bzw. eine Zufallsgröße. Normalerweise passiert so was ja nicht völlig unsinnig, so wie ich das hier gemacht habe. Wenn es sich um eine reelle Zufallsgröße bzw. reelle Zufallsvariable handelt, ordnet man ja Zahlen zu. Und im weiteren Verlauf soll es sich hier auch um reelle Zufallsgrößen handeln. Die sind in der Praxis dann ohnehin die wichtigsten, die anderen spielen meistens keine Rolle. Also, wenn man den Ergebnissen eines Zufallsversuchs Zahlen zuordnet, dann handelt es sich meistens um irgendwelche sinnvollen Zahlen, die irgendeinen Sachzusammenhang haben. Zum Beispiel könnte man sich ein Würfelspiel vorstellen, bei dem man was gewinnen kann. Dann brauchen wir erst mal noch weitere Ergebnisse, nämlich e5 und e6 mit dazu, weil ja ein Würfel sechs Seiten hat. Es könnte sein, dass wir eine 1 würfeln und dann verdienen wir 3 Euro bzw. haben 3 Euro Gewinn. Wenn wir eine 2 würfeln, müssen wir 2 Euro zahlen. Wenn wir eine 3 Würfeln, dann bekommen wir 1 Euro. Wenn wir eine 4 würfeln, passiert überhaupt nichts. Wenn wir eine 5 würfeln, dann müssen wir 2 Euro bezahlen. Und wenn wir eine 6 würfeln, passiert auch nichts. Könnte so sein, habe ich mir jetzt gerade ausgedacht. Also, man kann den Ergebnissen des Zufallsversuchs Gewinne zuordnen. Und das macht man zum Beispiel deshalb, weil man wissen möchte: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich 2 Euro bezahlen muss? Dann geht es um die Wahrscheinlichkeit dieser beiden Ergebnisse zusammen. Oder ich kann mich fragen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich überhaupt etwas gewinne? Dann interessiert mich, an welchen Stellen diese Zufallsgröße positiv ist. So eine Zufallsgröße kann das Rechnen also enorm vereinfachen, weil man zielgerichteter fragen kann, wonach man eigentlich sucht und welche Wahrscheinlichkeiten man bestimmen möchte. Und man muss noch einen Fall hier erwähnen, was Zufallsgrößen angeht. Und das ist der, mit den überabzählbaren Grundmengen. Also wenn man Merkmale hat, die kontinuierlich sind oder stetig sind, dann handelt es sich um Merkmale, die jede beliebige Zahl in einem Intervall oder auf der reellen Achse annehmen können. Und man kann diesen Ergebnissen auch wieder Zahlen zuordnen. Man kann eine Zufallsvariable auf so einer Grundmenge definieren. Und das führt dann dazu, dass man auch eine Standardisierung bekommt. Ich möchte das mal ein bisschen anschaulich machen. Angenommen, wir haben irgendeine Grundmenge, da ist irgendetwas drin, da sind lauter Ergebnisse drin und wir wissen vielleicht nicht so ganz genau, welche das sind. Wenn es möglich ist, diesen Ergebnissen Zahlen zuzuordnen, und zwar Zahlen, die alle auf der reellen Zahlengeraden liegen - ich notiere das jetzt nicht weiter, irgendwelche Zahlen werden da zugeordnet -, dann können wir letzten Endes uns darauf beschränken, uns anzugucken, was hier für Zahlen zugeordnet wurden. Und wir brauchen uns um diese dunkle Wolke hier nicht weiter zu kümmern, was die Wahrscheinlichkeitsrechnung angeht. Wenn du Wahrscheinlichkeitsrechnung machst, wirst du feststellen, dass du zunächst viel mit Ergebnissen hantierst und denen Wahrscheinlichkeiten zuordnest, und wenn es dann auf die stetigen Merkmale kommt, die kontinuierlichen Merkmale, da ist plötzlich nur noch von Zufallsvariablen die Rede und von Zufallsgrößen und nicht mehr von den Zufallsversuchen selber. Ja, das liegt daran, dass es viel einfacher ist, sich um einen Abschnitt der reellen Achse zu kümmern, oder um die reelle Achse selber, als sich darum zu kümmern, was genau in einem Zufallsversuch abgeht und wie da Ergebnisse zustande kommen. Ja, das ist also die Situation bei den Zufallsgrößen und Zufallsvariablen in aller Ausführlichkeit. Viel Spaß damit. Tschüss!

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