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Transkript Vorzeichenwechselkriterium – Erklärung (2)

Hallo, im letzten Film habe ich gezeigt was das Vorzeichenwechselkriterium bedeutet, zumindest wenn man von der Ableitung auf die Ausgangsfunktion schließt. Das Vorzeichenwechselkriterium besagt zum einen, wenn die Ableitung 0 ist und ein Vorzeichenwechsel vorliegt bei dieser Nullstelle, dann hat die Ausgangsfunktion ein Maximum oder ein Minimum, allgemein ein Extremum. Oder wie man auch sagt, einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt.

Ich habe das gezeigt für eine Funktion, die zuerst positiv ist, dann 0 ist und danach negativ und jetzt rein der Vollständigkeit halber möchte ich das für eine Ableitungsfunktion zeigen, die hier zunächst negativ ist, dann 0 in einem Punkt und dann positiv ist. Und damit du dir das gut vorstellen kannst, möchte ich die Ableitung einmal mit diesen Steigungsdreiecken hier annähern. Die Höhen der Steigungsdreiecke sind die Funktionswerte der Ableitung, hier habe ich mal −0,75 und −0,25, also −1/4. Hier ist die Ableitung 0, ich werde das mal durch diesen 0-Balken annähern. Natürlich ist die Ableitung nicht auf dem ganzen Intervall von 2 bis 3 gleich 0, sondern nur in einem einzigen Punkt, aber um das hier ungefähr zeigen zu können mit diesen lustigen Steigungsdreiecken habe ich das auf dem ganzen Intervall 0 gesetzt. Und hier kommt noch +5 und +1, das sind ungefähr die Steigungen, die du hier sehen kannst. Jetzt fahre ich das mal ein bisschen ran, damit du das genauer sehen kannst. Die Steigungsdreiecke, die ich zwischen Graph der Ableitung und x-Achse gepackt habe.

Wenn man das jetzt in die Ausgangsfunktion einsetzt, dann kann ich mir wieder die Ausgangsfunktion konstruieren, indem ich diese Dreiecke hier auf die entsprechenden Intervalle aufsetze. Hier also habe ich −0,75, d.h. die Funktion wird hier fallen. Dieser schwarze Strich hier, das ist ungefähr der Funktionsgraph. Hier habe ich den Ableitungswert −0,5, also wird hier die Funktion ungefähr verlaufen. Dann ist sie 0, da ist es, hier ist die Funktion +0,5 ca. und ist die Steigung +0,5, der Funktionswert ist ziemlich egal. Und das, was du hier sehen kannst, dieser Funktionsverlauf, den hier, den erhält man wenn man diese Steigungsdreiecke wieder zusammensetzt. Ich werde das mal so sachte nachmalen, so ungefähr, einfach mal ganz salopp nachgemalt. Den Teil hier denke ich mir. So sah das ungefähr aus, weg mit den Steigungsdreiecken. Das bedeutet also, wenn man das hier anschaut: Hier in diesem Bereich war die Ableitung negativ, das heißt die Ausgangsfunktion fällt. Hier ist die Nullstelle der Ableitung, da ist sie, da ist die Steigung 0 und rechts davon steigt die Funktion wieder. Wie kann man sich das vorstellen, wenn die Funktion erst fällt und dann wieder steigt, dann war sie zwischendurch ganz unten, man war zwischendurch ganz unten im tiefen Tal und damit haben wir gezeigt: Und das, was du hier sehen kannst, dieser Funktionsverlauf, den hier, den erhält man, wenn man diese Steigungsdreiecke wieder zusammensetzt. Und wie man in der anderen Richtung schließen kann, das kommt dann in den nächsten Filmen. Bis dahin, tschüss!

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