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Transkript Vierfeldertafel – Aufgabe Urne (1)

Hallo, wir haben einen Zufallsversuch gegeben und wir haben ein paar Aufgaben dazu zu erledigen. Es geht um das Baumdiagramm, es geht um die Ergebnismenge mit den Wahrscheinlichkeiten. Die Vierfeldertafel ist zu erstellen und die Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung A auszurechnen und die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, außerdem sollen die Ereignisse A und B auf stochastische Unabhängigkeit untersucht werden. Unser Zufallsversuch ist folgendermaßen definiert: Wir haben 3 rote und 3 blaue Kugeln in einem Behälter oder in einem Gefäß. Es wird zweimal zufällig gezogen, natürlich ohne Zurücklegen. Das erste Ereignis A ist definiert durch: die erste Kugel ist rot. Das Ereignis B ist definiert durch: die zweite Kugel ist blau. Ja, und ich denke wir können anfangen mit dem Baumdiagramm, das ist hier ganz praktisch mit dem Baumdiagramm anzufangen. Das strukturiert so schön die Ergebnismenge, wie man so sagt. Und dafür ist es letzten Endes ja auch da. Also, wir haben hier das Ereignis A und das Ereignis Nicht-A. Und dann geht es weiter mit dem Ereignis B und dem Ereignis Nicht-B. Und hier natürlich auch das Ereignis B und das Ereignis Nicht-B. So, wie sehen jetzt hier die Wahrscheinlichkeiten aus? Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Kugel rot ist, glaube ich ganz elementar betrachtet ½. Wir haben 6 Kugeln, die Hälfte davon ist rot. Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen ist gleich ½. Da kann ich mich hier kurz fassen. Die andere Wahrscheinlichkeit, für Nicht-A nämlich, die ist dann auch gleich ½. Dann müssen wir uns hier überlegen, was ist das Ereignis B? Das ist, dass die zweite Kugel blau ist und wir haben noch fünf Kugeln im Gefäß, denn wir ziehen ja ohne Zurücklegen. Eine haben wir schon gezogen und drei von diesen Kugeln sind blau, denn wir haben ja am Anfang eine rote gezogen, deshalb ist hier die Wahrscheinlichkeit dann 3/5. Die Wahrscheinlichkeit für Nicht-B könnte ich natürlich auch elementar herleiten, mache ich jetzt aber nicht, weil ich schon weiß, dass sich hier, diese beiden Wahrscheinlichkeiten, zu 1 ergänzen müssen. Und die 5 braucht hier nicht einen so dicken Strich zu haben, braucht hier nicht auf dicke Hose zu machen. Das ist eine ganz normale 5. Machen wir weiter hier mit diesem Ereignis B hier. Das ist das Ereignis B unter der Bedingung Nicht-A. Wenn wir also am Anfang keine rote Kugel gezogen haben, dann haben wir eine blaue Kugel gezogen und die Wahrscheinlichkeit dafür dann von den 5 vorhandenen Kugeln eine blaue zu ziehen, ist dann 2/5, denn 2 der Kugeln sind blau, 5 Kugeln sind im Gefäß. Und hier haben wir dann wieder 3/5. Und dann können wir auch direkt die Schnittwahrscheinlichkeiten ausrechnen. Also die Wahrscheinlichkeit für A geschnitten B ergibt sich dann aus ½×3/5. Ich begründe das hier jetzt nicht alles. Ich hab das alles mal begründet, bei der Einführung des Baumdiagramms, da ist das alles erklärt worden. Also ½×3/5 ist 3/10 und dafür möchte ich hier jetzt mal die Dezimalschreibweise verwenden. Das passt hier so schön hin. Ich kann es natürlich auch als Bruch schreiben, ist völlig egal. Dann haben wir ½×2/5, hier für A geschnitten Nicht-B. Da könnte man natürlich die 2 kürzen, aber dann könnte man die Dezimalschreibweise nicht so schön verwenden, deshalb lasse ich das bei 2/10 und das ist 0,2. ½×2/5, das weiß ich schon, das ist 0,2 und dann bleibt hier unten noch 0,3 hinzuschreiben. Und damit ist das Baumdiagramm komplett fertig mit allen Wahrscheinlichkeiten. Dann schlage ich vor, dass man hier weiter im Aufgabentext vorgeht und die Ergebnismenge mit den Wahrscheinlichkeiten aufschreibt. Ich habe mich dafür entschieden, vier Ergebnisse zu nehmen. Das Ergebnis bedeutet: beim ersten Mal eine rote Kugel ziehen und beim zweiten Mal eine rote Kugel ziehen. Das Ergebnis bedeutet: beim ersten Mal eine rote Kugel ziehen, dann eine blaue Kugel ziehen. Und die beiden anderen natürlich entsprechend, muss ich nicht weiter erklären. Es wäre auch möglich gewesen, zu sagen: Ich habe 6 Kugeln und ich kann am Anfang die erste Kugel ziehen und dann die zweite. Oder ich kann die erste Kugel ziehen und dann die dritte oder die erste Kugel und dann die vierte Kugel und dann so weiter und so weiter. Und dann hätte ich auch sagen können: Gut, dann kann ich auch die zweite Kugel ziehen und die dritte oder die zweite Kugel und die vierte Kugel. Dann hätte ich mehr Ergebnisse gehabt und dann wäre das hier voller geworden. Und deshalb habe ich mich für die etwas weniger schreibintensive Variante entschieden, nur vier Ergebnisse zu nehmen. Und ich sage das deshalb so ausführlich, weil viele Schüler meinen, die Ergebnismenge sei schon vorbestimmt, das könnte man sich gar nicht überlegen. Doch, das muss man sich jedes Mal überlegen, was genau die Ergebnismenge ist. Gut, es gibt eine Menge Zufallsversuche, da ist es einfach klar, was die Ergebnismenge ist, aber hier ist es nicht klar und da kann man sich das überlegen. So, wie groß sind denn nun die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse? Also: erste Kugel rot, zweite Kugel auch rot. Wo habe ich das hier im Baumdiagramm? Erste Kugel rot, das bedeutet, das ist das Ereignis A, danach müsste Nicht-B auftreten, das bedeutet dieses Ergebnis hier, rot-rot, hat die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A geschnitten Nicht-B. Und diese Wahrscheinlichkeit ist 0,2. Dann habe ich hier rot und blau. Das bedeutet A geschnitten B und diese Wahrscheinlichkeit ist 0,3. Zuerst keine rote und dann keine blaue, das ist dieser Pfad hier, also Nicht-A geschnitten Nicht-B. Und die Wahrscheinlichkeit ist 0,3. Und die Wahrscheinlichkeit, also erst keine rote und dann eine blaue, ist dann 0,2. Noch eine kleine Anmerkung zur Sprechweise hier: Ich habe gesagt, es gibt zum Beispiel das Ereignis A geschnitten B und hier sieht man, das ist aber nur ein Ergebnis. Also der Inhalt der Menge A geschnitten B besteht aus einem einzigen Ergebnis. Das kann durchaus passieren, das macht nichts.  

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2 Kommentare
  1. Default

    Cooles Ende, bin leider gestorben, aber ich habs überlebt!!!

    Von Ulli Vaehning, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    das ist alles so mega kompliziert erklärt !!!!

    Von Bejadinz, vor fast 3 Jahren