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Transkript Uneigentliche Integrale – Beispiele

Hallo, in diesem Video geht es um uneigentliche Integrale. D. h. wie kann man, mit Integralen, Flächen ausrechnen, die bis ins Unendliche gehen. Vielleicht habt ihr schon mal was von Hilberts Hotel gehört? Das ist ein Hotel, das gehört dem deutschen Mathematiker David Hilbert und das hat unendlich viele Räume, weil es kann ja sein, dass mal unendlich viele Gäste kommen. Und hier sehen wir David Hilbert mit seinem Kollegen Felix Klein aus Leipzig vor seinem Hotel und die beiden diskutieren. Und Felix sagt: Du David, wir müssen mal die Wand streichen. Da sagt David: Das geht doch nicht, die ist doch unendlich groß. Daraufhin Felix: Naja, dann streichen wir eben nur einen Teil, aber jeder Gast sollte etwas davon haben. Und dann denkt er sich auf der Frontwand ein Koordinatensystem und den Graphen der Funktion 1/x2 und schlägt vor, dass man doch die Fläche von dem Graphen bis zum Boden, ab der Stelle x=1 blau malen könnte. Darauf sagt dann David wieder: Naja, die geht trotzdem bis ins Unendliche, also die ist trotzdem zu groß die Fläche. Und Felix sagt: Na, das glaube ich nicht, lass uns mal nachrechnen. Das ist also die Fläche, um die es geht und so können wir die erst mal nicht berechnen, aber wenn sie jetzt nur bis zu einer endlichen Stelle gehen würde, also z. B. bis zur Stelle A, dann können wir sie berechnen. Nämlich mit dem Integral von 1 bis a von 1/x2. Die Stammfunktion ist -1/x und da setzen wir erst das a ein und dann - und dann setzen wir die 1 ein. Minus -1 ist +1 und dann können wir also schreiben, 1-1/a. D.h. dir rote Fläche hier hat den Inhalt 1-1/a und jetzt versuchen wir einfach mal das a gegen ∞ laufen zu lassen und gucken was passiert. Die gesamte blaue Fläche wäre also dann der Limes für a gegen ∞ von diesem Integralterm. Also letztendlich von dem Term hier unten. So 1/a geht aber für a gegen ∞ gegen 0, also ist der Grenzwert 1, also hat die Fläche tatsächlich den Inhalt 1. Und das ist doch schon ziemlich überraschend, oder? Und so ein Grenzwert von einem Integral, bei dem die obere Integrationsgrenze gegen unendlich geht, nennt man uneigentliches Integral. Ja und David Hilbert staunt auch nicht schlecht, aber er findet die Kurve etwas zu flach und schlägt deswegen vor, die Kurve 1/x zu nehmen. Und da rechnen die beiden jetzt aus, wie viel Farbe sie dafür brauchen. Ich habe hier noch mal beide Graphen eingezeichnet. Die schwarze Fläche ist die, die dazugekommen ist und beide zusammen ist die, die wir berechnen wollen. Gehen wir also wieder erst mal bis zu einer endlichen Stelle A und berechnen dann den Limes für das Integral von 1 bis a für a gegen ∞ von 1/x. Die Stammfunktion ist ln x und da kriegen wir raus: Limes für a gegen ∞ von lna-ln 1, ln1 ist aber 0, das können wir also gleich ganz weglassen. Und der Grenzwert der Funktion ln a, für a gegen ∞ ist ∞. D.h. diese Fläche ist unendlich groß, obwohl sie sich von der Alten ja um scheinbar nur ganz wenig unterscheidet. Und da muss Felix eingestehen, dass er das auch nicht erwartet hätte und die beiden entscheiden sich, dann doch lieber den anderen Graphen zu nehmen und Farbe für 1 Quadratmeter zu kaufen. Es gibt aber auch noch andere uneigentliche Integrale, z. B. mit Integrationsgrenzen, die gar nicht im Definitionsbereich der Funktion sind, z. B. 0 bei 1/x. Hier nimmt man sich auch erst einmal eine Stelle A aus dem Definitionsbereich und berechnet dann die Fläche von der Stelle A bis zur Stelle 1. Also Integral von A bis 1 von 1/x dx. Stammfunktion ist ln x, d. h. wir erhalten ln 1-ln a. ln 1=0, d. h. wir kriegen -ln a raus. Und jetzt lassen wir a gegen 0 laufen, dann müssten wir ja die blaue Fläche a rauskriegen. Die Fläche ist also gleich dem Limes für a gegen 0 von diesem Integral, also gleich dem Limes für a gegen 0 von -ln a. Da ziehen wir das - raus und der Limes von ln a für a gegen 0 ist -∞. d. h. wir kriegen dann insgesamt +∞ raus. D. h. diese Fläche ist auch unendlich groß. Okay und jetzt wisst ihr, wenn ihr euer Hotel anmalen wollt, ob ihr euch dabei ruiniert oder nicht.

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8 Kommentare
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    Super Video, ich versteh's endlich :)

    Von Inka L., vor mehr als einem Jahr
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Timo und Joelle,

    zu eurem ersten Kommentar:
    (x^-1)/-1 und -(1)/x ist genau dasselbe, am einfachsten schreibt man diesen Term als - 1/x. Falls euch das nicht klar war, schaut euch bitte nochmal Potenzgesetze an.

    zum zweiten Kommentar:
    Das erste Gleichheitszeichen ist falsch, die restlichen stimmen. Es gilt NICHT: 1/x² = - x^(-1). Was ihr meint ist, die Stammfunktion von f(x)=1/x² ist F(x)= - x^(-1).

    Das Ziel des Videos war es nicht, Stammfunktionen zu besprechen, sondern zu erklären, was ein uneigentliches Integral ist. Wenn man in dem Lernstadium ist, sollte man die grundlegeneden Stammfunktionen bereits kennen. Und f(x)=1/x²; F(x)=- 1/x ist eine davon. Ich finde auch, dass, wenn man die Potenzgesetze und die Integrationsregel für Potenzfunktionen kennt (und die ist nicht so schwer), dann kann man die Funktion f(x)=1/x² recht einfach integrieren. Eine komplexe Stammfunktion ist das nicht.
    Viele Grüße und viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Rechnung zur Stammfunktiom:

    1/x² = 1/(-2+1)*x^(-2+1) = (1/-1)*x^(-1) = -1x^-1 = -x^-1

    (Nun muss man die Potenz (-1) wieder zurück in einen Bruch wandeln und dabei auf das Vorzeichen bei dem (-x) achten!)

    = -1/x

    Solch eine Komplexe Stammfunktion sollte man aber wirklich im Video auch erklären ...

    Von Joelle B., vor mehr als 2 Jahren
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    Die Stammfunktion von (1/x²) ist (x^-1)/-1 und nicht -(1)/x ??!

    Von Joelle B., vor mehr als 2 Jahren
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    Sehr anschaulich, strukturiert und vor allem gut verständlich erklärt. Danke! :-)

    Von Jan Worpenberg, vor etwa 3 Jahren
  1. Default

    WOW! Nur ein Wort: GENIAL!!!

    Von Cuibono, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    sehr interessante story :)

    Von Rockhound, vor mehr als 7 Jahren
  3. Bild 6

    Bisher mein absoluter Favorit!

    Von Andreas Spading, vor mehr als 7 Jahren
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