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Transkript Stetigkeit verknüpfter Funktionen

In diesem Video geht es um die Stetigkeitssätze für Verknüpfungen von Funktionen. Von den Verknüpfungen betrachten wir als Erstes Vervielfachung, Addition, Subtraktion und Multiplikation. Der Satz lautet: Sind die Funktionen f und g jeweils an der Stelle x(0) stetig und ist c eine reelle Zahl, so sind auch die Funktionen c×f, f+g, f-g und f×g in x(0) stetig. Man kann sich eigentlich schon gut vorstellen, dass wenn man f und g zeichnen kann, ohne abzusetzen, dass dann auch die Summe der beiden Funktionen nicht an irgendeiner Stelle plötzlich einen ganz großen Sprung machen kann. Schauen wir uns ein paar Beispiele an. Die Funktion f(x)=x ist ja sogar auf allen reellen Zahlen stetig. Das heißt, wenn wir sie mit sich selbst multiplizieren, kommt wieder eine stetige Funktion raus. Und wenn wir diese wieder mit x multiplizieren, ist das Ergebnis auch wieder stetig. Da man das immer so weiter machen kann, sieht man recht schnell, dass alle Potenzen von x stetig auf den reellen Zahlen sind und genauso alle Vielfachen solcher Potenzen. Und wenn wir jetzt noch verschiedene Vielfache und verschiedene solcher Potenzen betrachten, sind sogar noch deren Summen und Differenzen stetig. Das heißt also: Alle ganzrationalen Funktionen sind stetig auf ganz R, denn das sind ja genau die, die wir grade zusammengesetzt haben. Als nächstes kommen wir nun zur Kehrwertbildung und Division. Sind die Funktionen f und g stetig in x0 und ist g(x0) ungleich 0, so sind auch die Funktionen 1/g und f/g stetig in x0. So ist also zum Beispiel die Funktion 1/x2 überall stetig, außer in x0=0, denn da wird ja der Nenner 0. Und diese Funktion hat im Zähler und im Nenner ganzrationale Ausdrücke, ist also stetig, außer an den Stellen, wo der Nenner 0 wird, also bei -3 und 3. Es gilt also: Gebrochen-rationale Funktionen sind überall stetig, wo ihr Nenner nicht 0 wird. Also überall wo sie definiert sind, denn der Zähler und der Nenner sind ja jeweils ganzrationale Funktionen, und die sind überall stetig. Und zum Schluss noch den Stetigkeitssatz zur Verknüpfung. Ist die Funktion g stetig in x0 und die Funktion f stetig in g(x0), so ist die Funktion f Kringel g - die rechnet man aus, indem man erst g anwendet und dann f, stetig in x0. Wenn wir also zum Beispiel zuerst die e-Funktion anwenden, die ist stetig auf ganz R, und dann die Wurzelfunktion, die ist stetig für nicht negative Zahlen und die Funktionswerte von ex sind ja alle nicht negativ, dann ist also die Verknüpfung, also \sqrt(ex) stetig auf ganz R. Gut und zum Schluss möchte ich noch mal eine kleine Übersicht über einige wichtige stetige Funktionen geben. Wie wir jetzt gesehen haben, gehören da zum Beispiel alle ganzrationalen Funktionen dazu und alle gebrochen-rationalen in ihrem Definitionsbereich, außerdem Exponential- und Logarithmusfunktionen, Letztere in ihrem Definitionsbereich wieder, Wurzelfunktionen in ihrem Definitionsbereich, dann die trigonometrischen Funktionen und deren Umkehrfunktionen und nach den Sätzen die wir eben kennengelernt haben dann auch alle möglichen Summen, Produkte, Quotienten und Verknüpfungen dieser Funktionen. Wobei man natürlich immer darauf achtgeben muss, dass die Stelle, die man betrachtet, auch im Definitionsbereich ist. Okay, das war es.

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2 Kommentare
  1. Default

    Klasse erklärt! Freue mich auf weitere Videos!
    Manchmal würde ich mir 1-2 Sekunden Pause zwischen den Sätzen/Themen wünschen, aber dafür gibt es ja die Leertaste/Pause ;)

    Von Cuibono, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Super, den gesamten Stoff eine Vorlesung auf ein paar Minuten zusammengefasst. :)

    Von Deleted User 4229, vor mehr als 7 Jahren