Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Beispiele

Hallo! In diesem Video möchte ich euch zeigen, wie man die Gleichung einer ganzrationalen Funktion aufstellen kann, nur aus ein paar vorgegebenen Eigenschaften. Was sollen das für Eigenschaften sein? Das können zum Beispiel Punkte sein, die auf dem Graphen liegen. Hier nehmen wir mal die Punkte (-1;0), (1;0) und (0;1). Und wir sagen, der Graph soll an der Stelle x=0 diese Tangente haben. Außerdem soll die Funktion vom Grad 4 sein. Die einzige ganzrationale Funktion, die das alles erfüllt, ist diese: f(x)=x4-2x²+1. Und wie man darauf kommt, möchte ich jetzt anhand einiger Beispiele zeigen. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades besitzt im Punkt P (1;3) die Steigung 3 und im Punkt Q (0;4) liegt ein Wendepunkt. Die Frage ist: Wie sieht die Funktionsgleichung dieser Funktion aus? Erst mal sehen wir, dass die Funktion den Grad 3 hat, das heißt, die allgemeine Funktionsgleichung sieht so aus. Allgemeiner kann man die Funktion nicht schreiben, denn eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von Vielfachen von x-Potenzen und die höchste Potenz ist hier 3. Die Unbekannten, die wir noch haben, sind die Vielfachen vor den x-Potenzen jeweils. Als Zweites versuchen wir jetzt, die gegebenen Eigenschaften in Gleichungen auszudrücken. Wenn der Graph im Punkt P die Steigung 3 hat, dann muss er ja auch durch den Punkt P selber gehen. Das heißt, wenn ich 1 in die Funktion einsetze, erhalte ich 3. Ich habe jetzt hier mal 1 überall für x in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt. So, die ganzen Einsen kann ich mir eigentlich sparen, dann kriege ich also die Gleichung a+b+c+d=3. Außerdem wissen wir noch, dass der Graph in dem Punkt die Steigung 3 hat, also an der Stelle x=1. Und Steigung bedeutet immer Ableitung, also die Ableitung an der Stelle 1. Jetzt können wir aber die 1 noch nicht in die Ableitung einsetzen, weil wir die noch nicht ausgerechnet haben. Das machen wir jetzt mal schnell: f'(x)=3ax²+2bx+c. Da setzen wir jetzt die 1 ein. Das Ergebnis muss 3 sein, die Steigung ist 3. Und die Einsen können wir dann wieder weglassen. Jetzt haben wir also schon die zweite Gleichung. Als Nächstes sehen wir, dass der Punkt Q (0;4) auf der Kurve liegt, denn der ist ja ein Wendepunkt. Das heißt, ich setze 0 in die Funktionsgleichung ein und da muss 4 rauskommen. Und weil die vorderen Terme alle wegfallen, sehen wir also schon, dass d=4 ist. Da haben wir also eine Unbekannte schon mal bestimmt. Dieser Punkt ist außerdem ein Wendepunkt, also an der Stelle x=0. Und Wendepunkt sein, bedeutet immer, dass die zweite Ableitung an der Stelle gleich 0 ist. Die zweite Ableitung müssen wir aber erst mal ausrechnen, das ist dann 6ax+2b. Da setzen wir jetzt 0 ein und es muss auch 0 rauskommen, weil es ein Wendepunkt ist. Und daraus folgt dann b=0. Das heißt, in den ersten beiden Gleichungen können wir jetzt schon mal überall für d 4 einsetzen und für b 0. Dann werden die Gleichungen schon erheblich einfacher. Und die beiden Stellen von der Funktionsgleichung haben wir im Prinzip schon. Jetzt können wir also die erste Gleichung zu a+c=-1 umformen und die Zweite zu 3a+c=3. Und das ist dann ein Gleichungssystem, das sich leicht lösen lässt. Da ergibt sich a=2 und c=-3. Die Funktionsgleichung ist also f(x)=2x³-3x+4. Jetzt möchte ich das Vorgehen noch einmal allgemein aufgliedern. Der erste Schritt ist: Die allgemeine Gleichung einer ganzrationalen Funktion des entsprechenden Grades aufschreiben und die ersten beiden Ableitungen gleich ausrechnen. Danach muss man aus den gegebenen Eigenschaften die Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten aufstellen. Man muss dabei beachten, dass es immer so viele Gleichungen wie Unbekannte geben muss. Also immer eine mehr, als der Grad der Funktion ist. Dann erhält man ein lineares Gleichungssystem in den Koeffizienten und das muss man nur noch lösen. Rechnen wir mal noch ein Beispiel. Der Graph einer Funktion 5. Grades ist punktsymmetrisch und hat im Punkt P (1;8) einen Sattelpunkt. Hier denkt man vielleicht, oh Gott, ich habe eine Funktion 5. Grades, also 6 Unbekannte, und anscheinend überhaupt keine Informationen. Aber das wird sich gleich noch zeigen, wo die stecken. Wer nämlich bei "Symmetrie von ganzrationalen Funktionen" aufgepasst hat, der weiß, dass eine punktsymmetrische Funktion nur ungerade Exponenten haben kann. Das heißt, b, d und f sind eigentlich 0 und wir können die von Anfang an schon weglassen. Dann bezeichnen wir die Funktion noch einmal neu und rechnen die ersten beiden Ableitungen aus. Als Erstes liegt der Punkt P auf dem Graphen, dann ist also f(1)=8. Außerdem ist er ein Sattelpunkt und in einem Sattelpunkt sind sowohl die erste als auch die zweite Ableitung 0. Wir haben also f'(1)=0 und f''(1)=0. Jetzt setzen wir die 1 jeweils wirklich in den Funktionsterm ein bzw. in die Ableitungen und die Zweite und erhalten dann a+b+c=8, 5a+3b+c=0 und 20a+6b=0. Da haben wir also ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen, so, wie wir es erwartet haben. Dieses Gleichungssystem hat die Lösung a=3, b=-10, c=15 und die Funktion hat damit die Gestalt: 3x5-10x³+15x. Jetzt möchte ich gern noch ein Beispiel rechnen, weil es wirklich viele verschiedene Ausdrucksweisen für die Gleichungen gibt und es nicht immer einfach ist, die zu erkennen. Also der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt bei x=1 die x-Achse. Im Punkt P (3;2) hat er eine Tangente, die parallel zur Geraden mit der Gleichung y=(9/4)x verläuft. "Berührt bei x=1 die x-Achse", ist zum Beispiel so ein Fall, da machen wir uns mal eine Skizze. Ein Berührpunkt sieht ungefähr so aus. Das heißt der Berührpunkt (1;0) liegt schon mal auf dem Graphen, f(1)=0, und außerdem muss die Tangente in dem Punkt die Steigung 0 haben, sonst wäre es kein Berührpunkt. Das heißt f'(1)=0. Der Punkt P liegt auf dem Graphen, also f(3)=2. Und in dem Punkt ist die Tangente parallel zur Geraden y=(9/4)x. Machen wir mal eine Skizze. Hier liegt der Punkt (3;2), so könnte die Kurve aussehen und das ist die Gerade y=(9/4)x. Die hat die Steigung 9/4 und die Tangente, die parallel dazu ist, muss also auch die Steigung 9/4 haben. Das heißt, wir kennen f' an der Stelle 3, das ist nämlich 9/4. Auf das Einsetzen und das Lösen des Gleichungssystems will ich jetzt mal verzichten, weil das Wichtigste bei solchen Aufgaben wirklich das Aufstellen dieser Gleichungen ist. So, das Video ist jetzt erst mal zu Ende. Ich werde aber sicher noch ein anderes Video machen, mit noch zwei, drei Beispielen und einer kleinen Übersicht über verschiedene Eigenschaften von Funktionen und wie die sich jeweils als Gleichung ausdrücken. Das war's.

Informationen zum Video
13 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Tristan,
    ja das gibt es:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/rekonstruktion-ganzrationaler-funktionen-uebersicht-eigenschaften
    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor 8 Monaten
  2. 1275946 571084322953520 1098414656 o

    Hallo
    Gab es jetzt ein 2. video und eine Übersicht über die Eigenschaften
    Liebe Grüße

    Von Tristan D., vor 8 Monaten
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo,
    es gibt, wie du sicher weißt, viele Möglichkeiten, die Lösungen zu berechnen. Ich bin wie folgt vorgegangen:
    I a + b + c = 8
    II 5a + 3b + c = 0
    III 20a + 6b = 0
    - Gleichung II - Gleichung I ergibt Gleichung II' 4a + 2b = -8
    - Gleichung III - 3 * Gleichung II' ergibt Gleichung III' 8a = 24,
    also a = 3.
    - Das setzen wir nun ein in Gleichung III: 60 + 6b = 0,
    also 6b = -60, also b = -10.
    - Dies setzen wir beides in Gleichung I ein: 3 + (-10) + c = 8,
    also -7 + c = 8, also c = 15.

    Viel Erfolg

    Von Steve Taube, vor etwa einem Jahr
  4. Default

    Hi,
    Ich habe eine Frage: Wie kommt man an der Stelle 5:50 min. auf die Lösung a=3, b=-10, c=15? Also wie hast du die Gleichungen mit den Unbekannten verrechnet?

    Von Ehlbeck, vor etwa einem Jahr
  5. Default

    Hi,
    ich meinte eigtl die letzte Aufgabein dem Video (hätte ich glaube hinzuschreiben müssen sry) habs aber mitlerweile gelöst trotzdem danke.

    Von Ay96, vor fast 2 Jahren
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Ay96,
    ich kann dir ein paar Tipps geben. Die wesentlichen Informationen, die du benutzen musst, sind: Die Funktion geht durch den Punkt (1;1), die Funktion geht durch den Punkt (2;0), die Funktion hat bei x = 1 eine Wendestelle. Das müsste eigentlich helfen, wenn du dir das Video aufmerksam angeschaut hast...

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Hallo,
    danke für das Video. Kannst du dieLösung zur Aufgabe reinstellen?
    LG

    Von Ay96, vor fast 2 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Saskia,

    habe es selbst berechnet. Es bieten sich viele Wege an. Du kannst z.B. GLeichung 1 von Gleichung 2 subtrahieren, um c zu eliminieren. Dann erhältst du 4a + 2b = -8. Dann Gleichung 3 - das Dreifache der zuletzt berechneten Gleichung: das ergibt 8a = 24, also a = 3. Der rest geht dann einfach.

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    Hey, hast du das Gleichungssystem bei 5:49 mit dem GTR gerechnet? Wenn nicht, kannst du mir die Rechnung bitte noch einmal erklären? :)

    Vielen Dank!

    Von Saskia Hubert, vor fast 3 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo,

    man muss beide Gleichungen kombinieren. Wir haben die Gleichungen (ich benenne sie wie im Video)
    1' a+c=-1
    2' 3a+c=3
    Ich habe dann die Gleichung 1' von der Gleichung 2' abgezogen:
    2'-1':3a+c-(a+c)=3-(-1)
    Das ergibt 2a=4 bzw. a=2.
    Dann habe ich a=2 in die Gleichung 1' eingesetzt:
    a+c=-1 --> 2+c=-1, also c=-3.
    Ich habe also das Additionsverfahren (hier mit einer Subtraktion) verwendet.

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  6. Default

    bei der 1. aufgabe,nach 3.38 min

    Von Dr. Krämer, vor mehr als 3 Jahren
  7. Bewerbungsfoto

    Hallo,

    kannst du mir bitte die Stellen nennen, an denen diese Rechnungen auftreten?

    Danke, Steve

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  8. Default

    Hey, ich wollte nur fragen wie man von a+c= -1 auf 4a=2 also 2=a kommt und wie man von 3a+c=3 auf c=-3 kommt ?
    Danke im voraus :)

    Von Dr. Krämer, vor mehr als 3 Jahren
Mehr Kommentare