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Transkript Quadratwurzeln negativer Zahlen

Hallo! Was haben wir bisher für Wurzeln bestimmt? Wir haben Wurzeln aus natürlichen Zahlen bestimmt. Nicht aus allen, aber aus Zahlen, bei denen wir direkt wussten, was die Wurzel ist. Durch Quadrieren von natürlichen Zahlen, sind wir auf Zahlen gekommen, deren Wurzeln wir bestimmen können. Wenn man z.B 9 quadriert, dann erhält man 81, dann weiß man auch was das\sqrt81=9, da 9×9=81. Wir haben außerdem Primfaktorzerlegungen angewendet, bei größeren Zahlen, von denen wir schon wissen, das sie Quadrate natürlicher Zahlen sind. Dann kann man die Primfaktorzerlegung machen, umordnen und direkt die Wurzel ablesen bzw. durch eine einfache Multiplikation auf diese Wurzel kommen. Was wir bisher nicht gemacht haben, ist die Wurzel aus negativen Zahlen z.B\sqrt(-9). Wenn man dies zum ersten Mal sieht, dann denkt man sich ist ja kein Problem. 3 ist nicht das Ergebnis, das weiß ich schon. Dann mache ich hier mal so eine Abteilung 3×3=9, aber eben nicht -9. Dann mache ich -3×-3=9, da -×-=+. 2,5 ist auch nicht das Ergebnis, da es zu klein ist. -2,5 ist es auch nicht, da es viel zu groß ist. Also innerhalb der reellen Zahlen, die wir bisher behandelt haben, gibt es keine Wurzel aus negativen Zahlen. Dann komme ich zu einer Sache, die ich bisher nicht begriffen habe. Es gibt viele Schulbücher in denen steht z.B. das es die\sqrt(-9) oder überhaupt aus negativen Zahlen nicht gebe. Das begreife ich deshalb nicht, da es die Wurzel gibt, und zwar innerhalb der komplexen Zahlen. Diese sind so erfunden worden, damit die Wurzeln da existieren. Auch die komplexen Zahlen sind ganz normale Zahlen wie du und ich und da kann man die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen. Deshalb verstehe ich nicht, warum so oft in diesen Büchern steht es gebe diese Wurzel nicht. Doch sie gibt es nämlich innerhalb der komplexen Zahlen. Innerhalb der reellen Zahlen gibt es sie nicht, aber so könnte man das dann auch sagen, das es sie innerhalb der Zahlen, die wir bisher besprochen haben, nicht gibt. Wenn man dies mit Schülern bespricht, kommen oft Ideen was man machen könnte wenn man nun bei\sqrt(-9), \sqrt(-16) etc. die Wurzel nicht ziehen kann. Z.B. kommt oft die Idee,\sqrt(-9) sei ein Zahlenpaar (3,-3). Das finde ich sehr interessant. Das habe ich schon öfters gehört als Vorschlag (d.h. nicht als geltendes Recht). Man müsste sich mal angucken, was für eine Mathematik man machen könnte, wenn man diesen Vorschlag weiter ausführt.Wahrscheinlich ist das schon gemacht worden, ich kenne aber die Ausführungen nicht. Wenn du Lust hast, kannst du dir das gerne mal überlegen, wie das mit den anderen Zahlen alles so zusammenpassen würde. Interessante Aufgabe. Eine andere Möglichkeit ist, das man dieses -×- abschafft, indem man einfach sagt, -×-=-. Dann müsste man sich allerdings herumschlagen mit Sachen, wie dieser Rechnung hier: 10-(5-3). Die Klammer bedeutet, dass wir erst rechnen 5-3=2 und 10-2=8 (das kann ich hier noch hinschreiben). Wenn wir jetzt die Klammer auflösen wollen und sagen - -3=-3 dann hätten wir hier stehen 10-5-3 und das wäre aber etwas anderes. Wenn wir allerdings rechnen 10-5 und dann bedenken --=+ dann ist das Ergebnis auch 10-5+3=8. Dann ist es wieder richtig. D.h. wenn man so etwas definiert wie -- ist nicht mehr +, dann müsste man sich auch Gedanken machen, wie man jetzt so eine Klammer verarbeiten will und wie man was da benennen möchte. Das halte ich für ziemlich schwierig. Man müsste auch weiter gucken, ob man nicht in irgendwelche Widersprüche hineinläuft, aber man kann das ja auch mal ausprobieren und gucken, wie weit man da kommt. Das hat bestimmt schon mal jemand gemacht. Ich kenne diese Ausführungen auch nicht, aber vielleicht möchtest du es mal probieren, ich kann dazu nur ermuntern. Das solls erst mal gewesen sein. Also innerhalb der Zahlen, die wir kennen und die normalerweise in der Schule gemacht werden, gibt es keine Wurzel aus negativen Zahlen, weil -×-=+. Damit kann man sich abfinden. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

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2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Klaus Kaltenbrunner:
    Die Primfaktorzerlegung ist eine wichtige Berechnung bzw. Anwendung in der Zahlentheorie. Das ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches teilweise mit dem grundlegenden Gebiet der Algebra verknüpft ist.
    Man kann mit Hilfe der Primfaktorzerlegung (wird auch mit PFZ abgekürzt) zweier Zahlen relativ schnell das kleinste gemeinsame Vielfache (wird auch mit kgV abgekürzt) und den größten gemeinsamen Teiler (wird auch mit ggT abgekürzt) berechnen. Es gibt aber noch viele weitere Anwendungen in der Zahlentheorie.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    Danke für des Video echt gut gemacht aber braucht man Primfaktorenzerlegung auch noch für etwas anderes als zum berechnen der Wurzel?
    Und außerdem: Erster :D

    Von Klaus Kaltenbrunner, vor etwa 2 Jahren