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Transkript Produktregel – Übungen

Hallo! Heute stelle ich euch kurz die Produktregel vor und zeige euch anhand Beispielen, wie man diese anwendet. Die Produktregel dient dazu, ein Produkt aus 2 oder mehr Funktionen einfacher abzuleiten. Ihr solltet dazu schon die Ableitungen von ex, sinx und lnx kennen. Ein Beispiel für solch eine Funktion wäre zum Beispiel f(x)=(x7+9)×(37+2x3). Die Produktregel definiert sich folgendermaßen: Wenn man eine Funktion ableiten, die durch f(x)=u(x)×v(x) gegeben ist, dann ist die Ableitung dieser Funktion f'(x)=u'(x)×v(x)+u(x)×v'(x). Kurz heißt es f'(x)=u'×v+u×v'. Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel. Gegeben ist die Funktion f(x)=(x2+5)×(x3-2). Zunächst machen wir eine kleine Übersicht. u=(x2+5) und v=x3-2. Wir leiten nun u(x) ab u'=2x und v'=3x2. Am besten kann man es sich merken, wenn man u' mit v verbindet und u mit v', also über Kreuz. Nun wenden wir die Produktregel an. Nun fassen wir alles zusammen. Wir kriegen raus 2x4-4x+3x4+15x2. Die Ableitung lautet also f'(x)=5x4+15x2-4x. Nun eine weitere Aufgabe. Wir haben f(x)=ex×(2x-4). Ich erinner euch noch mal daran, dass ex abgeleitet ex bleibt. Verschaffen wir uns wieder einen Überblick. u=(2x-4) und v=ex. Die Ableitung von 2x-4=2 und von ex=ex. Nun benutzen wir die Produktregel. Wir klammern ex aus und erhalten für f'(x)=ex×(2x-2). Nun die nächste Funktion. Wir haben f(x)=(1/3x4+7x)×sinx. Hier ist ganz wichtig, dass die erste Ableitung von sinx cosx ist. Also ist u=(1/3x4+7x) und v=sinx. Die erste Ableitung von 1/3x4+7x ist (4/3x3+7) und von sinx cosx. Nun benutzen wir die Produktregel und erhalten für f'(x)=(1/3x4+7x)×cosx+(4/3x3+7)×sinx. Jetzt ein weiteres Beispiel. Wir haben die Funktion f(x)=ex×sinx. u ist also ex und v=sinx. Die erste Ableitung von ex=ex und von sinx=cosx. Nun wenden wir die Produktregel an und erhalten f'(x)=ex×sinx+ex×cosx. Das Ganze fassen wir zusammen und kriegen für f'(x)=ex×(sinx+cosx). Und nun ein letztes Beispiel. Wir haben f(x)=2x×lnx. Hier solltet ihr wissen, dass die erste Ableitung von lnx 1/x ist. Also ist u=2x und v=lnx. u'=2 und v'=1/x. Nun benutzen wir die Produktregel und kriegen für f'(x) raus 2×lnx+2x×1/x. Das Ganze fassen wir zusammen und kriegen letztendlich für f'(x)=2×(lnx+1) raus. So, heute habt ihr gelernt, wie man die Produktregel richtig anwendet. Ich hoffe ihr hattet Spaß! Tschüs!

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11 Kommentare
  1. Felix

    @Neclatopalsoy:
    Wenn Summanden einer Summe gleiche Teiler haben, so kannst du mit dem Distributivgesetz ausklammern.
    Ein Beispiel: Bei 2*lnx+2 haben beide Summanden 2 als gemeinsamen Teiler. Diesen kannst du ausklammern, d.h. 2*lnx+2=2*(lnx+1).
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Hallo. Wo kommt die 2 vor der Klammer her? Das verstehe ich nicht ganz.

    Von Neclatopalsoy, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    OH, vielen lieben Dank, ich habe es sehr gut nachvollziehen können! :)

    Von Claudia Currey, vor etwa 2 Jahren
  4. Giuliano test

    @Claudia Currey:
    Man kann bei Brüchen immer dann kürzen, wenn im Zähler und Nenner Produkte stehen, welche gleiche Faktoren enthalten. Ich möchte das zuerst an einem einfachen Beispiel vorrechnen und dir dann zeigen, dass das für Variablen identisch ist.
    8/4 = (4*2)/(4*1)= 2/1 =2 Wir haben also die 4 gekürzt.
    In dem Beispiel mit den Variablen ist das identisch, nur dass wir die 4 nun für die Variable x ersetzen. Hier solltest du erst einmal einen ganzen Bruch bilden, damit das Beispiel klarer wird.
    2x * 1/x = 2*x/1*x = 2/1 =2
    Wichtig ist, dass wir das x als Zahl kürzen und nicht "ein x" im Sinne einer Addition. Bei einer Summe oder Differenz im Zähler oder Nenner dürfen wir im Allgemeinen nicht kürzen.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Ich habe eine Frage.. wieso darf man 1/x mal 2x kürzen? 2x mit x gekürzt, da bleibt doch nur ein x übrig...

    Von Claudia Currey, vor etwa 2 Jahren
  1. Default

    Fein!

    Von Esastan, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    wieso kann ich nichts sehen `:S

    Von Aylin Mak, vor fast 6 Jahren
  3. Printimage

    echt TOP das Video, also kein Unterschied zu deinen anderen Videos^^

    Von Steph Richter, vor mehr als 6 Jahren
  4. Default

    gut erklärt...

    Von Hendrik Janus, vor fast 7 Jahren
  5. Default

    dankee ;)

    Von Angelina S., vor fast 7 Jahren
  6. Default

    Sehr schönes Video (;

    Von Robin Ms, vor fast 7 Jahren
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