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Herzlich Willkommen zum Video „ Produktregel – Übungen “. In diesem Video wird euch kurz erklärt, wie die Produktregel funktioniert. Sie dient dazu, ein Produkt aus zwei oder mehreren Funktionen einfach abzuleiten. Du solltest dazu bereits die Ableitungen von e^x, sin x und ln x kennen. Die 1. Ableitung wird euch noch einmal zur Wiederholung gezeigt. Im Anschluss werden dir verschiedenen Beispielaufgaben zum Anwenden der Produktregel vorgestellt. Versuche zunächst die Aufgaben selbständig zu ... mehr »

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Produktregel - Beispiel mit trigonometrischen Funktionen 2

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Kurze Erklärung der Produktregel

Enzyklopädische Einordnung

Mathematik » Analysis » Ableitungen, Ableitungsregeln

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Differenzialrechnung » Produkt- und Kettenregel in einfachen Fällen anwenden
Differenzialrechnung » Ableitungsregeln anwenden

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Hallo!
Heute stelle ich euch kurz die Produktregel vor und zeige euch anhand Beispielen, wie man diese anwendet. Die Produktregel dient dazu, ein Produkt aus 2 oder mehr Funktionen einfacher abzuleiten. Ihr solltet dazu schon die Ableitungen von e^x, sinx und lnx kennen.
Ein Beispiel für solch eine Funktion wäre zum Beispiel f(x)=(x^7+9)×(37+2x^3). Die Produktregel definiert sich folgendermaßen: Wenn man eine Funktion ableiten, die durch f(x)=u(x)×v(x) gegeben ist, dann ist die Ableitung dieser Funktion f'(x)=u'(x)×v(x)+u(x)×v'(x). Kurz heißt es f'(x)=u'×v+u×v'.
Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel. Gegeben ist die Funktion f(x)=(x^2+5)×(x^3-2). Zunächst machen wir eine kleine Übersicht. u=(x^2+5) und v=x^3-2. Wir leiten nun u(x) ab u'=2x und v'=3x^2. Am besten kann man es sich merken, wenn man u' mit v verbindet und u mit v', also über Kreuz. Nun wenden wir die Produktregel an. Nun fassen wir alles zusammen. Wir kriegen raus 2x^4-4x+3x^4+15x^2. Die Ableitung lautet also f'(x)=5x^4+15x^2-4x.
Nun eine weitere Aufgabe. Wir haben f(x)=e^x×(2x-4). Ich erinner euch noch mal daran, dass e^x abgeleitet e^x bleibt. Verschaffen wir uns wieder einen Überblick. u=(2x-4) und v=e^x. Die Ableitung von 2x-4=2 und von e^x=e^x. Nun benutzen wir die Produktregel. Wir klammern e^x aus und erhalten für f'(x)=e^x×(2x-2).
Nun die nächste Funktion. Wir haben f(x)=(1/3x^4+7x)×sinx. Hier ist ganz wichtig, dass die erste Ableitung von sinx cosx ist. Also ist u=(1/3x^4+7x) und v=sinx. Die erste Ableitung von 1/3x^4+7x ist (4/3x^3+7) und von sinx cosx. Nun benutzen wir die Produktregel und erhalten für f'(x)=(1/3x^4+7x)×cosx+(4/3x^3+7)×sinx.
Jetzt ein weiteres Beispiel. Wir haben die Funktion f(x)=e^x×sinx. u ist also e^x und v=sinx. Die erste Ableitung von e^x=e^x und von sinx=cosx. Nun wenden wir die Produktregel an und erhalten f'(x)=e^x×sinx+e^x×cosx. Das Ganze fassen wir zusammen und kriegen für f'(x)=e^x×(sinx+cosx).
Und nun ein letztes Beispiel. Wir haben f(x)=2x×lnx. Hier solltet ihr wissen, dass die erste Ableitung von lnx 1/x ist. Also ist u=2x und v=lnx. u'=2 und v'=1/x. Nun benutzen wir die Produktregel und kriegen für f'(x) raus 2×lnx+2x×1/x. Das Ganze fassen wir zusammen und kriegen letztendlich für f'(x)=2×(lnx+1) raus.
So, heute habt ihr gelernt, wie man die Produktregel richtig anwendet. Ich hoffe ihr hattet Spaß! Tschüs!

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