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Transkript Produktregel – Beispiel mit trigonometrischen Funktionen (1)

Hallo! Hier ist eine Funktion, deren Funktionsterm aus einem Produkt trigonometrischer Funktionen besteht und diese Funktion kannst du mithilfe der Produktregel ableiten. Das hört sich viel komplizierter an, als es ist. Die Funktion lautet: f(x) = sin(x) × cos(x). Eben zum Definitionsbereich: sin(x) und cos(x) ist ja auf ganz R definiert. Damit ist dieser Fall schon erledigt. Es ist ein Produkt. Wir können die Produktregel anwenden. Der erste Faktor ist sin(x), der zweite Faktor ist cos(x). Jetzt musst du eigentlich nur noch wissen, was sind die Ableitungen von Sinus und Cosinus. Also, die Ableitung von Sinus ist cos(x). Die Ableitung von cos(x) ist -sin(x). Die Ableitung von -sin(x) ist -cos(x) und die Ableitung von -cos(x) ist wieder sin(x). Mehr passiert hier nicht. Das ist quasi eine Sache zum Auswendiglernen. Also, wir müssen hier zunächst mal sin(x) ableiten. Das ist cos(x). Dann müssen wir den zweiten Faktor hier abschreiben, das ist cos(x), und dann müssen wir den ersten Faktor hier abschreiben, das ist sin(x). Und wir wissen, die Ableitung von cos(x) ist -sin(x) und das ist das, was hier steht. Wir können cos(x) × cos(x) zusammenfassen zu cos(x)2. Ebenso hier unter Beachtung des Vorzeichens, sin(x) × sin(x) zusammenfassen zu sin(x)2. Das war schon die Ableitung davon. Mehr ist da wirklich nicht los. Also zumindest in diesem Fall passiert da nicht viel. Hier möchte ich noch eins, zwei Worte darüber verlieren, was mit der Schreibweise los ist. Also, das ändert sich alle Nase lang, wie das Quadrat einer trigonometrischen Funktion geschrieben wird. Man kann das auch so schreiben: cos2(x) zum Beispiel. Das ist das Gleiche wie das, was hier steht. Das ist vielleicht eine etwas ältere Schreibweise oder sie kommt wieder in Mode. Ich weiß es nicht. Das Gleiche ist: Ich hab das auch jetzt letztens so gesehen mit (cos(x))2 und dann hier noch mal eine Klammer drum, zum Quadrat. Es gibt ja 2 verschiedene Möglichkeiten, die man hier unterscheiden muss. Man könnte auch erst das x quadrieren und dann cos(x2) rechnen, dann müsste das Quadrat hier in der Klammer stehen. Also diesen Fall muss man eben unterscheiden von dem Fall, der hier steht: Es wird erst cos(x) gebildet und das Ergebnis wird  quadriert. Hier genau so: Es wird erst sin(x) gebildet, das Ergebnis wird quadriert und das schreibt man halt so. Würde man erst x2 berechnen wollen, müsste dieses Quadrat hier in die Klammer. Das sind 2 Schreibweisen für das Gleiche. Die andere, die hier steht, füge ich noch eben an der Vollständigkeit halber. Auch das bedeutet, es wird erst cos(x) gebildet und dann wird danach quadriert. Ich glaube das sind alle Schreibweisen. Ach so, es gibt das noch mit Cosinus und Klammer, in der das x steht. Das hier ist alles das Gleiche. Wenn du eine von diesen Schreibweisen gewohnt bist und dich hier dran störst, also bitte, das ist alles das Gleiche. Wenn du irgendwelche Schwierigkeiten haben solltest, frag bitte den Lehrer deines Vertrauens, wie du das schreiben sollst. Es ist nur wichtig, dass du die beiden Fälle, also erst cos(x) und dann quadrieren beziehungsweise erst x quadrieren und dann den cos(x2) berechnen, dass du diese beiden Fälle unterscheiden kannst. Wenn du das unterscheiden kannst, dann ist die Wiese wieder grün. Weil das so einfach war, noch ein kleines Zusatzbeispiel. Die ganze Sache kann auch sehr schnell über die Bühne gehen. Wir haben hier die Funktion f(x) = x × sin(x). Wir wenden die Produktregel an. Das sind die beiden Faktoren. Die Ableitung von x ist 1; 1 müssen wir multiplizieren mit dem zweiten Faktor, nämlich mit sin(x) und da brauchen wir die 1 natürlich nicht hinschreiben. Also haben wir hier am Anfang sin(x) + x abschreiben, zweiten Faktor ableiten. Die Ableitung von sin(x) ist cos(x) und das steht hier. Da braucht man nichts Weiter zusammenfassen. Das ist die Ableitung, das heißt, das kann auch in Sekundenschnelle gehen hier bei diesen einfachen Funktionen. Viel Spaß damit! Tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    echt gut danke ! :)

    Von Charlotte C., vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Super :)

    Von Minol, vor mehr als 4 Jahren