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Produktregel 03:33 min

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Transkript Produktregel

Hallo, in diesem Video möchte ich eine grundlegende Regel der Differenzialrechnung - die Produktregel - vorstellen. Sie wird manchmal auch nach ihrem Erfinder Gottfried Wilhelm Leibnitz als Leibnitz-Regel bezeichnet. Die Produktregel ist immer dann hilfreich, wenn man ein Produkt aus 2 Funktionen ableiten möchte.  Wir betrachten ein Beispiel. Es sei folgende Funktion gegeben: f(x)=(x5+7)×(19+3x4). Diese Funktion ist ein Produkt von 2 anderen Funktionen: u(x)=x5+7 und v(x)=19+3x4. f(x) lässt sich also schreiben als u(x)×v(x). Hier könnte man die Anwendung der Produktregel vermeiden, indem man einfach ausmultipliziert. Mit der Produktregel geht es aber einfacher, besonders wenn die Funktionen komplizierter werden. Wir betrachten noch ein Beispiel: f(x)=x×sin(x). Diese Funktion ist auch ein Produkt von 2 anderen Funktionen: u(x)=x und v(x)=sin(x). Hier kann man nicht ausmultiplizieren. Man kann aber die Produktregel anwenden, die wir uns jetzt zusammen anschauen.Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produktes von 2 Funktionen sich wie folgt berechnen lässt: f'(x)=u'(x)×v(x)+u(x)×v'(x). Der Beweis ist ganz einfach. Wir wissen, dass die Ableitung einer Funktion durch den Grenzwert der Differenzkoeffizienten gegeben ist. Wir setzen nun für die Funktion f das Produkt ein und addieren und subtrahieren im Zähler den Term u(x)×v(x)+h. Bisher ist noch nichts passiert, denn die beiden zusätzlichen Terme ergeben zusammen eine 0. Wir gruppieren nun die 2 ersten sowie die 2 letzten Terme im Zähler zusammen und bekommen lim(u)(x+h)-u(x))/h×v(x+h)+limu(x)×v(x)(x+h)-v(x))/h. Dies ist äquivalent zu u'(x)×v(x)+u(X)×v'(x). Damit ist die Produktregel bewiesen. Wir betrachten nun 2 Beispiele. Es sei die Funktion (x2+2x)×(1+x) gegeben. Wir berechnen nun die Ableitung dieser Funktion, indem wir die Produktregel anwenden. Es ergibt sich (2x+2) - das ist die Ableitung der 1. Funktion - ×(1+x)+x2+2x. Die Ableitung der 2. Funktion ist 1. Nach dem Auflösen der Klammern und Zusammenfassen bekommen wir 3x2+6x+2. Das ist die gesuchte Ableitung. Als 2. Beispiel betrachten wir die Funktion f(x)=x×sin(x). Die Anwendung der Produktregel liefert uns die Ableitung: sin(x)+x×cos(x). So viel zur Produktregel. Danke für das Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

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5 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Rebecca Si:
    Mit Hilfe der h-Methode kannst du die Ableitungsregeln beweisen. Ausgangspunkt bei der Produktregel ist eine Funktion, die als Produkt zweier Funktionen u(x) und v(x) geschrieben werden kann. Die Produktregel umfasst die Ursprungsfunktion UND deren Ableitungsfunktion, d.h.
    f(x)=u(x)*v(x)
    f´(x)=u´(x)*v(x)+u(x)+v´(x)
    Mit der h-Methode erhält man allgemein die Ableitungsfunktion f´(x). Mit der h-Methode beweist man also die Ableitungsfunktion und die Produktregel bezieht sich natürlich auch auf die Ursprungsfunktion f(x). Da man aber die Ursprungsfunktion nicht immer hinschreibt, sagt man eben kurz, dass die Produktregel "u Strich mal v + u mal v Strich" lautet.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 2 Jahren
  2. Image1

    Wieso entspricht die Funktion am ende der h-methode (Beweis) der Produktregel ?

    Von Rebecca Si, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    Danke, sehr schnell und gut zum mitschreiben :D
    Das einzige was mich kurz gestört hatte war das bei der ersten Aufgabe nicht nochmal die Produktregel mit dabei stand, aber kurz Pause drücken, zurück spulen und mit schreiben hat das "Problem" gelößt.

    Ps: Den Beweis hatte ich auch übersprungen, da ich die h-Methode nicht mehr kann.

    Von Antares93, vor mehr als 2 Jahren
  4. Img 6384

    Ich fande es auch super erklärt, habe aber den beweis übersprungen :D

    Von Tina Saltner, vor etwa 3 Jahren
  5. Img 0098

    sehr gut erklärt! Der Beweis war mir dann doch etwas zu kompliziert, aber der Rest war sehr gut!

    Von Tefik I., vor etwa 3 Jahren