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Transkript Notwendige Bedingung für Extrema

Hallo!   Die notwendige Bedingung für Extrema, beziehungsweise das notwendige Kriterium für Extrema, ist so eine Sache. Wenn du mal jemanden fragst, der das Abitur seit 20 Jahren hinter sich hat: "Na, weißt du noch, dein Matheunterricht, notwendige Bedingung?" - dann gibt's so was wie "Iiiih, geh mir weg.". Also ich will damit andeuten: Ist eine wichtige Sache, kommt laufend vor.   Die notwendige Bedingung für Extrema ist f'(x) = 0. Das war's schon. Wie kann man das verstehen? Extrema sind Maxima oder Minima - also ein Extremum kann ein Maximum oder Minimum sein. Man sagt auch: Hochpunkte oder Tiefpunkte dazu. Alle Bezeichnungen sind da gebräuchlich. Und diese Bedingung sagt nun: Nur wenn f'(x) = 0 ist, kann die Funktion ein Maximum oder Minimum haben. Anders gesagt, nur an den Stellen, an denen die erste Ableitung gleich 0 ist, kann sich ein Maximum oder ein Minimum befinden, oder ein Hoch- oder ein Tiefpunkt, oder, anders gesagt, ein Extremum.   Ich möchte das ganz kurz anschaulich zeigen, wie man sich das vorstellen kann. Ich habe schon Filme gemacht, in denen das anschaulich sehr breit erklärt wird, deshalb kommt die Sache hier ganz kurz. Also, wir haben hier zum Beispiel einen Funktionsgraphen, und hier ist ein Maximum. Damit dort ein Maximum sein kann, ist die Bedingung, dass die Steigung hier 0 ist. Also die erste Ableitung gibt ja die Steigung an, die muss hier 0 sein, sonst kann da kein Maximum sein. Ebenso verhält es sich bei Minimum: Hier ist ein Minimum oder ein Tiefpunkt. Dort ist die Ableitung gleich 0, also die Steigung ist gleich 0. Wenn man hier eine Tangente dransetzt und da eine Tangente dransetzt, dann ist sie parallel zur x-Achse, also die Steigung ist gleich 0.   Es kann aber auch den Fall geben, dass der Funktionsgraph so aussieht. Dann ist hier auch die Steigung 0, aber es ist hier kein Maximum. Das muss man da bitte unterscheiden. Es ist zwar nötig für einen Extrempunkt, dass die Steigung, also die Ableitung, gleich 0 ist, das heißt aber nicht, dass, wenn sie gleich 0 ist, dass dann da auch ein Extremum ist. Man kann das auch noch so als Folgerung aufschreiben: Wenn irgendwo ein Extremum ist, dann folgt daraus, dass f'(x) gleich 0 ist an dieser Stelle. Diese Richtung ist die Folgerung, die andere ist nicht richtig, weil, wie wir hier sehen, auch die Steigung, also die erste Ableitung, auch 0 sein kann, ohne dass an der Stelle ein Extremum ist.   Bedeutet konkret für dich: Du bekommst zum Beispiel so eine Funktion und sollst nun sagen, wo sich Extrema, also Maxima oder Minima, befinden könnten. Das machst du dann mit der ersten Ableitung, mit dem notwendigen Kriterium. Läuft also so, hier ist die Funktion: f(x) = 2x3 - 3x2 - 36x + 1 Du machst die erste Ableitung davon: f'(x) = 6x2 - 6x - 36 Notwendige Bedingung ist nun, dass die erste Ableitung gleich 0 ist. Du setzt also die erste Ableitung gleich 0. Dann erhältst du eine quadratische Gleichung (das zeige ich jetzt nicht alles im Einzelnen). Die quadratische Gleichung kannst du dann lösen (ich erkläre hier auch nicht, wie das geht, das kannst du dann bei den quadratischen Gleichungen nachgucken, wenn du da etwas unsicher bist). Also, also Lösungen kommen dann heraus: x1 = -2 und x2 = 3

Also an den beiden Stellen, bei -2 und bei 3 ist die erste Ableitung gleich 0; nur an den Stellen können sich Extrema, also Hoch- oder Tiefpunkte, befinden. Das sagt die notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte. In dem Fall ist es so, dass sich da tatsächlich auch ein Maximum und ein Minimum befinden.   Aber ich habe noch eine Funktion vorbereitet, und zwar die hier. Und wie du siehst, ist sie ein bisschen ähnlich. Wir haben: f(x) = x3 + 6x2 + 12x + 1 So ganz so sehr unterscheiden die sich nicht auf den ersten Blick, aber hier passiert eben ein bisschen was anderes. Wir können hier auch wieder die erste Ableitung bilden, also: f'(x) = 3x2 + 12x + 12 Und dann die notwendige Bedingung für Extrema verwenden, das heißt, die erste Ableitung gleich 0 setzen. Das heißt, ich müsste dann hierhin schreiben: Dieser Term hier gleich 0. Und dann bekommt man wieder eine quadratische Gleichung. Die einzige Lösung dieser quadratischen Gleichung ist: x = -2

Hier an der Stelle x = -2 ist die Ableitung gleich 0, da ist die Steigung gleich 0, aber diese Funktion hat kein einziges Maximum oder Minimum, sie hat keinen Hoch- und keinen Tiefpunkt.   Also, wenn es nur um die notwendige Bedingung geht und du eine Funktion gegeben hast, dann kannst du diese Funktion ableiten, diese Ableitung gleich 0 setzen, die Lösungen ausrechnen, und hast dann das, was mit der notwendigen Bedingung zu tun hat, bis dahin erledigt.   Weil es immer wieder Schwierigkeiten macht, diese Folgerung zu verstehen, möchte ich dazu vielleicht noch ein-zwei plastische Beispiele geben. Wir haben eben die Situation, dass aus der Existenz des Extremums folgt, dass die notwendige Bedingung erfüllt ist, aber andersrum ist es eben nicht der Fall. Und der Fehler wird immer wieder gemacht, dass Schüler die erste Ableitung gleich 0 setzen und sagen: "Ok, hier haben wir jetzt die Stellen, an denen sich die Extrema befinden". Das ist falsch - man hat nur die Stellen an denen sich Extrema befinden können. Ein kleines plastisches Beispiel: Um Brötchen kaufen zu können, muss ich Geld haben. In dem Fall habe ich Geld, sogar ziemlich viel Geld, aber ich habe keine Brötchen. Dass ich Geld brauche, um Brötchen zu kaufen heißt nicht, dass ich, auch wenn ich Geld habe, Brötchen habe. Denn ich habe ja jetzt keine gekauft - ich möchte jetzt auch keine Brötchen.   Anderes Beispiel. Die notwendige Voraussetzung dafür, dass ich mit jemandem zusammen bin - in meinem Fall dann also mit einer Frau zusammen bin - ist, dass ich das möchte. Dass ich das möchte, reicht aber nicht. Nur wenn ich das möchte, heißt das noch nicht, dass ich mit ihr auch zusammen bin. Sie muss schließlich auch wollen. Das ist bei uns so, da werden die Bräute nicht verkauft, das hängt von der Frau ebenso ab. Das geht eben nicht nur mit einer Seite.

Also ich hoffe das war plastisch genug - diese Folgerung existiert, die andere existiert nicht. Das war's zum notwendigen Kriterium, viel Spaß damit, tschüss!    

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11 Kommentare
  1. Felix

    @Azra: Die Funktion f(x)=x³+6x²+12x+1 hat in x=-2 einen Sattelpunkt. Wenn du zusätzlich noch in die zweite Ableitung f''(x)=6x+12 einsetzt, erhältst du f''(-2)=0. Es liegt also weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum vor sondern ein Sattelpunkt. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor fast einem Jahr
  2. Default

    bei der Funktion wo x=-2ist gibt es kein HP bzw. TP..... das habe ich nicht verstanden . Hängt das damit zusammen das wenn es einen HP gibt es auch immer einen TP geben muss ? Weil mit dem x-Wert von -2 könnte man doch einen Extremwert erhalten , oder ?

    Von Azra, vor fast einem Jahr
  3. Default

    Danke! :-) hab alles verstanden

    Von Amaustria, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Mit diesen Beispielen kapiere ich endlich, was der Unterschied von einer notwendigen und hinreichenden Bedingung ist ;-)

    Von Matilda Schlecht, vor etwa 2 Jahren
  5. Julia redaktion

    Hi Susanne,
    ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt oder gar nix von beidem handelt, überprüftst du mit der zweiten Ableitung. Such einfach mal nach "hinreichender Bedingung". Wir hoffen, dass wir dir helfen konnten.

    Von Julia Merck, vor fast 3 Jahren
  1. Default

    Kanns du bitte erklaren wie ich erkenne ob es sich um einen tiefpunkt hochpunkt oder um keins der beiden handelt. Ich weis nicht wie man das erkennt sonst gutes video

    Von Susanne Honnef, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    super, in dem video wird alles sehr gut erklärt!

    Von Mrgf19, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Wie kommt man auf 2 Ergebnisse bei der Gleichung x1 und x2 ?
    Man kann doch garnicht 2 Ergebnisse rausholen wenn man f(x) gleich 0 setzt und danach auflöst ? Wie bekommt man 2 Werte da raus ?

    Von Fatih Altintas, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    danke, das Video ist echt super und verständlich und hat mir sehr geholfen! :)

    Von Charlotte C., vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    Ich bin mir ganz sicher, dass Maestro Wabnik dieses Outfit nur während der "Drehzeiten" seiner Onlinevideos trägt und sich danach gleich in neue Schale wirft.

    Von Green Spirit, vor etwa 4 Jahren
  6. Default

    ey hast du immer das selbe an??

    Von Behzad4ever, vor etwa 6 Jahren
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