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10 Kommentare
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    Hallo Frank.

    Stell' Dir eine Funktion vor, die nur auf dem angegebenen Intervall definiert ist. Das bedeutet, dass die Funktion am Rand nicht differenzierbar sein kann (oder muss). Der Satz gilt natürlich in dem Fall, dass die Funktion auch am Rand des Intervalls differenzierbar ist.

    Ich hoffe, ich konnte Dir damit helfen.

    Viel Spaß weiterhin mit den Videos von Sofatutor von Frank

    Von Frank Steiger, vor 3 Monaten
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    Hallo Frank,
    mein Name ist auch Frank und ich habe nicht verstanden, warum die Differenzierbarkeit in einem offenen Intervall (also nicht in einem geschlossenen) gegeben sein muss.

    Von Frank E., vor 3 Monaten
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    Hallo Herr Steiger, ich glaub‘ ich hab’s!
    Also, aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es bei j e d e r Funktion f(x) (mindestens) eine Stelle a, die, falls f(x) keine konstante Funktion ist und keine Sattelpunkt vorliegt, eine Extremstelle ist mit f‘(a) = 0.
    Um a herum kann man nun eine Umgebung x1 0, dann gilt f(x2)-f(x1)/x2-x1 > 0. Nach Umformung ist dann f(x2)-f(x1) > 0 , somit auch x2 < x1 und weil das eine Linkskurve bedeutet und a zwischen diesen beiden Stellen liegt, muss a eine (lokaler) Tiefpunkt sein. Entsprechend gilt dann, dass für f‘‘(a) < 0 ein lokaler Hochpunkt vorliegen muss.

    Ich danke Ihnen für Ihre Anregung; sie hat - quasi automatisch - über Nacht gewirkt! Mein Ziel war ja die vorwiegend "abstrakte" Überlegung nachvollziehen zu können.

    Von Eemilelv, vor 12 Monaten
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    Danke.
    Ja ich hatte mir das bei der Normalparabel auch schon klar gemacht. Die Resultate lassen sich anschaulich gut nachvollziehen, nur ist mir eine allgemeine formale Schlussweise noch nicht einsichtig geworden. - Auf jeden Fall werde ich mir das Video über die "notwendige und hinreichende Bedingung" anschauen.
    Herzlichen Dank!

    Von Eemilelv, vor 12 Monaten
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    Hallo: schau dir mal das Video "notwendige und hinreichende Bedingung" von Martin W. an. Vielleicht hilft dir das weiter.

    Ansonsten: Die zweite Ableitung steht für die Krümmung. Das Vorzeichen und die dazugehörige Krümmung kannst du dir an der Normalparabel klarmachen: f(x)=x^2, f'(x)=2x, f''(x)=2. Die zweite Ableitung ist immer größer als 0. Die Normalparabel ist linksgekrümmt und hat einen Tiefpunkt.

    Von Frank Steiger, vor 12 Monaten
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    Wollte gerne wissen, ob es ein Video gibt, das sich mit folgendem Problem beschäftigt.
    Ich muss mir erklären, warum man an der zweiten Ableitung einer Funktion f(x), also anhand von f‘‘(x) sehen kann, dass es sich entweder um einen Hoch- bzw. einen Tiefpunkt handelt. (Den Sattelpunkt betrachte ich hier mal nicht.)
    Voraussetzung der Differenzierung sei im Intervall (x1; x2) gegeben, in
    dem x1 f(a) < f(a) > f(ra).

    Nun zu meinen Problem bzgl. der Aussage(kraft) der zweiten Ableitung!
    f‘‘(x) sei an der Stelle f‘‘(a) > 0. Wieso folgt daraus, dass an der Stelle a ein Tiefpunkt ist und gilt f(la) > f(a) < f(ra), was ja das Kriterium für einen Tiefpunkt ist? Dieser Schluss ist mir (wenigstens im Moment) nicht völlig klar.

    Von Eemilelv, vor 12 Monaten
  2. Felix

    @Eemilelv: Super ... das hast du korrekt gelöst:)

    Von Martin B., vor etwa einem Jahr
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    Hallo Herr Steiger,
    aufgrund Ihre guten Erklärung habe ich mich an eine Aufgabe gewagt, die ich im Mathe-Chat nicht besprechen konnte - weil der Tutor oder die Tutorin plötzlich nicht mehr antwortete.
    Hier meine Überlegungen zur
    Aufgabe:
    Bestimme mit Hilfe des Mittelwertsatzes den Punkt (a/f(a)) und dessen Steigung für die Funktion f(x) = x^2+2x+2 im Intervall
    I=[-2; 1].
    Lösung:
    Zuerst habe ich die Steigung m der Sekante s im Intervall I bestimmt.
    Also: Differenz der y-Werte durch Differenz der x Werte
    .. m = f(1) – f(-2) geteilt durch 1 – (-2)
    .. m = (5 – 2) : (1-(-2)) = 3:3 = 1
    Die Sekante geht also durch die Punkte P (-2; 2) und Q (1; 5) und hat die Steigung m = 1.
    Das ist aber auch die Steigung der Tangente durch den Punkt
    M (a; f(a)), was wiederum die Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle a ist.
    Die Ableitung ist allgemein f‘(x) = 2x+2 und an der Stelle a ist sie f‘(a) = 1 und somit gilt: 2a + 2 = 1 , folglich ist a = -1/2
    Der Punkt M (a; f(a)), den die Tangente mit der Steigung 1 berührt, ist dann
    M (-1/2; f(-1/2)) = M (-1/2; 5/4)
    -----
    Ob das wohl so stimmt?

    Von Eemilelv, vor etwa einem Jahr
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    Schön, dass freut mich, dass es dir geholfen und gefallen hat.
    Viel Spaß weiterhin mit den Videos von Sofatutor.

    Von Frank Steiger, vor etwa einem Jahr
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    Hallo, auch für dieses schöne und gutverständliche Video meine Anerkennung.
    Ich kann mir jetzt gut erklären, warum für die Differenzierbarkeit nur das offene Intervall betrachtet werden kann; die Randpunkt sind ja hier nicht von Belang.
    Ich habe mir (vermutlich unnötigerweise) den Kopf zerbrochen, wie man den Mittelwertsatz wohl formal begründen könnte. Demnach dachte ich, dass bei den Punkten P und Q (Grapf im Video) die Werte f(a) und f(b) identisch sind mit den Werten der Sekante an den Stellen a und b. Somit ist deren jeweilige Differenz Null. Das aber gilt für alle Sekanten und auch für die Tangente; woraus die Parallelität folgt und somit die Steigung f'(x) = Differenzenquotien.
    War etwas kompliziert gedacht - nicht wahr.
    Umso mehr hat mir die Animation im Video gefallen.

    Von Eemilelv, vor etwa einem Jahr
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