Textversion des Videos

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (3)

Hallo, hier ist eine Gleichung -1+3=x-4 und am Beispiel dieser Gleichung möchte ich zeigen, wie du mithilfe von Äquivalenzumformungen solche Gleichungen lösen kannst. Dabei geht es nicht vor allem darum, schnell die Lösung hinzuschreiben, sondern es geht darum, die Methode zu verstehen und da muss man wirklich langsam denken. Da muss man sich langsam überlegen, was man da hier eigentlich macht - das ist hier das Wichtige. Nicht schnell die Lösung hinschreiben. Also, ich möchte ein kleines Beispiel zeigen dazu, wie man sich diese Methode vorstellen kann. Du kennst eine ähnliche Methode von Rechnungen her. Wenn du zum Beispiel 87+38+13 rechnest, dann kannst du natürlich nach der Reihe vorgehen und erst 87+38 rechnen und so weiter. Du kannst aber auch bemerken, dass ja 87+13=100 ist und dann erst 38 dazurechnen, und dann weißt du gleich - das ist 138. Und so konntest du vielleicht dann ein bisschen schneller rechnen. Zumindest ist es so vermutlich einfacher. Was du hier gemacht hast, ist Folgendes: Du hast nicht diese Rechnung gerechnet, sondern du hast eine andere Rechnung gerechnet, von der du aber weißt, dass das Ergebnis dasselbe ist, wie bei dieser Rechnung hier. Und dieses Prinzip, also was Anderes machen, was aber dasselbe Ergebnis hat, das macht man bei den Gleichungen auch, so ähnlich. Wir haben hier eine Gleichung. Wir können diese Gleichung umformen in eine andere Gleichung, die aber dieselbe Lösungsmenge hat. Und wenn das nicht reicht, dann können wir noch mal umformen, wieder in eine Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat wie die hier oben, so lange, bis wir eine Gleichung bekommen, die so einfach ist, dass man die Lösungsmenge direkt ablesen kann. Das ist die Taktik dabei. Und um diese Gleichung umzuformen in eine andere Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat, haben wir folgende Möglichkeiten: Wir können auf beiden Seiten was addieren, auf beiden Seiten was subtrahieren, beide Seiten mit einer Zahl multiplizieren, die ungleich 1 ist oder beide Seiten durch eine Zahl teilen, die ebenfalls ungleich 1 ist. Oder wir können auf eine der Seiten oder auch auf beiden Seiten eine Termumformung machen. So, und was kann man hier nun machen, damit die Gleichung ein bisschen einfacher wird? Man kann diese Rechnung hier ausführen -1+3, und dann haben wir schon mal 1 Zahl da stehen und nicht 2. Also machen wir eine Termumformung. Wenn man eine Rechnung ausführt, ist das eine Termumformung. -1+3=2, also haben wir eine neue Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat, die aber jetzt schon ein bisschen einfacher geworden ist. Jetzt können wir noch uns hier um diese 4 kümmern, und zwar können wir hier auf beiden Seiten +4 rechnen, und dann wird die Gleichung zunächst komplizierter - dann steht hier 4+2, und auf der andren Seite steht x-4+4. Aber wir können jetzt wieder eine Termumformung machen, wir können nämlich 4+2 ausrechnen, das ist 6. Und wir können hier auch eine Termumformung machen, nämlich wir können ausrechnen -4+4=0. Und jetzt könnte man natürlich noch x+0 hier hinschreiben, das macht man aber meistens dann nicht, weil man ja weiß, dass x+0=x ist, und deshalb mache ich das einfach wieder weg. Und jetzt sieht man direkt, was die Lösungsmenge dieser Gleichung ist, also dieser unteren hier. Das ist nämlich 6. Man muss für x 6 einsetzen, damit diese Gleichung richtig ist. Wenn man eine andere Zahl einsetzt, ist die Gleichung nämlich falsch. Weil wir aber wissen, dass diese Gleichung hier dieselbe Lösungsmenge hat, wie die, und auch diese Gleichung dieselbe Lösungsmenge hat wie die, und auch diese dieselbe Lösungsmenge hat wie die, wissen wir auch, dass man in die obere Gleichung für x 6 einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird. Und das können wir mal eben probieren. Also wir wissen ja, -1+3=2 und 6-4=2, dann ist die Gleichung richtig. So, und jetzt müssen wir nur noch die Lösungsmenge hinschreiben, das L mit dem Doppelstrich ist dann die Menge, die die 6 enthält: L steht für Lösungsmenge = Menge, die die 6 enthält. Und damit haben wir die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmt mithilfe von Äquivalenzumformungen. So geht das, so funktioniert das immer. Viel Spaß damit - tschüss!

Informationen zum Video