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Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (10)

Hallo,
hier ist eine Gleichung: x/(x+1)-4=-3. Da sagst Du Dir vielleicht: Moment, das ist ja gar keine lineare Gleichung. Da kommt ja das x im Nenner vor. Ja, ist richtig. Das ist, so wie sie dasteht, keine lineare Gleichung, aber man kann ja mit dem Nenner multiplizieren und dann kommt man auf eine lineare Gleichung. Also, zum Thema lineare Gleichungen gehören auch die Gleichungen, die auf lineare Gleichungen führen. Das ist eine davon. Und ich könnte natürlich jetzt erst die 4 auf die andere Seite bringen, aber das mache ich bewusst nicht, um die Rechnung zu zeigen, die sich ergibt, wenn man diese gesamte Gleichung einfach mit diesem Nenner multipliziert. Das möchte ich eben zeigen. Also, ich möchte hier multiplizieren, und zwar mit x+1. Damit das überhaupt gelingt, das Ganze hier, muss man vorher noch sagen, oder am Ende sagen, ich weiß es nicht, das ist Geschmackssache, dass x nicht gleich -1 sein darf. Denn, wenn x=-1 wäre, dann ist dieser Bruch gar nicht definiert und dann können wir gar nicht weiterrechnen. Also meistens schreibt man das davor oder guckt hinterher bei der Lösungsmenge, wie auch immer. Auf jeden Fall, wenn man das x im Nenner hat, muss man sich immer darüber Gedanken machen, kann der Nenner auch 0 werden? Ist das ganze Ding dann überhaupt noch definiert? Das habe ich jetzt gemacht. Jetzt geht es weiter mit der Multiplikation und dann muss ich zunächst einmal diesen Bruch hier mit x+1 multiplizieren. Dann steht hier: x×(x+1)/(x+1), und jetzt kann man das Ganze hier als Produkt schreiben, das heißt, ich habe jetzt im Zähler und im Nenner ein Produkt. Ein Faktor hier ist x+1. Das ist zwar eine Summe, aber die gesamte Summe ist jetzt ein Faktor und dann kann man diesen Faktor kürzen. Ich mache das deshalb so ausführlich, weil Du ja gelernt hast, man kann aus Summen nicht kürzen. Aber wenn eine gesamte Summe ein Faktor ist, dann kann man schon mit dieser Summe kürzen. Das geht. Das wollte ich dir hier jetzt noch einmal zeigen.   Der zweite Punkt, den ich zeigen möchte ist, wir müssen -4 noch multiplizieren. Wir müssen jeden Summanden hier mit x+1 multiplizieren. Das wird oft vergessen, weil man sich da so sehr darauf konzentriert, dass man den Rest dann vergisst. Also, wir haben hier stehen: -4×(x+1). Das hätte ich auch gleich ausrechnen können, aber ich mache es ja immer ganz ausführlich. Dann kommt noch -3×(x+1) und das geht kaum noch dahin. Und jetzt würde ich sagen, ich löse die Klammern auf. Das kann ich jetzt nicht mehr ankündigen, das wäre dann eine Termumformung. Das wird sogar tatsächlich eine Termumformung. Dieser ganze Sermon hier ist einfach nur x. -4×x=-4x. Jetzt wird wieder das Distributivgesetz angewendet. -4×1=-4. Wir haben -3×x=-3x und -3×1=-3. Dann kann ich hier noch etwas zusammenfassen, d. h., es wird eine Termumformung. Alles schön der Reihe nach. Wir haben x-4x=-3x. -4=-3x-3. Das muss eine schöne 3 sein hier. Dann kann man +3x rechnen, auf beiden Seiten. +3x steht da, kannst Du nicht sehen, aber es ist trotzdem da, ich habe viel zu breit geschrieben. Wenn man hier +3x rechnet, bleibt also -4 übrig, und wenn man hier +3x rechnet, dann bleibt -3 übrig. Und diese Gleichung ist schlicht und ergreifend falsch. Das heißt auch, egal was man hier für x einsetzt und egal was man da und da und da für x einsetzt, diese Gleichung ist immer falsch. Außer man setzt für x -1 ein, dann ist die ganze Gleichung nicht mehr definiert, weil dieser Term nicht definiert ist. Das heißt also, wir haben hier eine Lösungsmenge, die aber leer ist. Denn man kann nichts für x einsetzen, sodass die Gleichung richtig wird. Viel Spaß damit, tschüss!

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3 Kommentare
  1. Default

    Hallo Herr Wabkin,

    vielen Dank für die schnelle und informative Antwort. Wieder ist mal ein kleines "Mathelicht" bei mir aufgegangen....

    Viele Grüße
    Murks

    Von Murks, vor fast 5 Jahren
  2. Flyer wabnik

    Eine lineare Gleichung hatman nur dann, wenn x in der ersten Potenz vorkommt und ansnsten nur noch Zahlen in der Gleichung sind. Wenn x im Nenner vorkommt, ist das gleichbedeutend mit x^(-1). Also ist es dann keine lineare Gleichung.

    Von Martin Wabnik, vor fast 5 Jahren
  3. Default

    Warum handelt es sich bei der Ausgangsgleichung nicht um eine lineare Gleichung? Nur weil x auch im Nenner vorkommt? Ist das dann immer so? Ich dachte, lineare Gleichungen sind alle Gleichungen, in denen x "einfach" vorkommt, also nicht als x°2 usw.

    Viele Grüße
    Murks

    Von Murks, vor fast 5 Jahren