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Transkript Lineare Funktion aus zwei Punkten bestimmen – Formel (3)

Hallo! Im letzten Film hatten wir die Punkte (3|2) und (1|1) gegeben. Wir haben daraus eine lineare Funktion gemacht und wir haben mit dieser Formel hier die Steigung berechnet und wir haben auch gesehen, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge hier diese Punkte erscheinen. Also, das hier könnte auch der zweite Punkt sein, das könnte der erste Punkt sein. Die Formel, diese hier für die Steigung, würde genauso funktionieren. Und jetzt möchte ich mal zeigen, was passiert, wenn das Ganze sich in anderen Quadranten abspielt und dazu habe ich hier noch mal diese Punkte eingezeichnet. Wir hatten ja hier uns ein Steigungsdreieck vorgestellt und uns elementar überlegt, dass das dann alles funktioniert hier mit der linearen Funktion, und so weiter, und dass wir dann so die Steigung kriegen können. Und jetzt ist die Frage, wenn wir das Ganze mal zum Beispiel hierhin verschieben, in den Minusbereich der x-Achse, zum Beispiel um 5 Einheiten, sage ich mal, dann wäre dieser Punkt, der jetzt hier der Punkt (1|1) ist, der würde dann bei -4 liegen und 1 natürlich, der y-Wert, soll sich nicht ändern. Hier müssen wir auch 5 Einheiten in die andere Richtung gehen und sind dann bei -2. Wir sehen hier ein ähnliches Steigungsdreieck natürlich. So würde die Funktion verlaufen. So ungefähr zumindest. Hier sind die beiden Punkte. Und die Frage ist jetzt: Gilt diese Formel dann genauso? Die x-Werte sind ja negativ. Man müsste das mal kontrollieren, ob das dann auch funktioniert und dazu muss ich jetzt natürlich diese x-Werte ändern. Und zwar möchte ich das nicht ausrechnen, sondern ich möchte das hinschreiben, was wir gemacht haben, nämlich haben wir gerechnet 3-5 und die andere Koordinate war 2 und hier haben wir auch einfach -5 gerechnet, bei der x-Koordinate und die y-Koordinate ist geblieben. Das sind die neuen Punkte. Ja, jetzt setze ich die ganz stumpf mal in die Formel ein, und gucke mal, was passiert. Y2 und y1 sind geblieben. Y2=1, da ist es. Y1=2, dann kommt das hier hin. Und zwar möchte ich das nicht ausrechnen, sondern ich möchte das hinschreiben, was wir gemacht haben, nämlich haben wir gerechnet 3-5 und die andere Koordinate war 2 und hier haben wir auch einfach -5 gerechnet, bei der x-Koordinate und die y-Koordinate ist geblieben. Da kann ich natürlich auch noch Klammern drum setzen, hier vorne. Das ist aber egal, das ändert nichts. Nur vielleicht zur besseren Veranschaulichung. Ja, jetzt rechne ich hier weiter. Das kann ich ausrechnen. Oben ändert sich nicht allzu viel. Ich rechne es auch zunächst mal hier oben nicht aus, aber hier unten werde ich was rechnen, und zwar werde ich die zweite Klammer auflösen. Die Erste lasse ich einfach weg, die wird nicht aufgelöst. Dann haben wir hier -3 und -(-5) gibt zusammen +5 und jetzt werde ich diese -5 und diese +5 zusammenfassen zu 0. Dann bleibt hier also oben im Zähler das Gleiche wie vorher, 1-2, und im Nenner steht dann 1-3. Und das ist das Gleiche, was wir im letzten Film hatten. Die Steigung ist gleich geblieben. Das ist optisch kein Wunder, denn wir haben einfach diese Gerade hier parallel verschoben. Das bedeutet, diese Formel hier ist wieder richtig und wir können uns auch leicht vorstellen, hoffe ich, dass wir auch die y-Werte einfach verschieben können oder die x-Werte und die y-Werte zusammen. Egal, wenn wir dieses irgendwie hier parallel verschieben, dann ist diese Formel immer richtig, denn, wenn wir hier und hier was abziehen ... da ist das Minuszeichen, das Abgezogene wird zu +. Das ist immer so, egal was wir abziehen und zusammen werden sich diese beiden zu 0 addieren. Das ist im Zähler genauso richtig und wir können auch was addieren, wir können das Ganze auch nach rechts verschieben oder nach oben. Es wäre alles das Gleiche und daher können wir sicher sein, dass diese Formel auch in anderen Quadranten oder an irgendwelchen Stellen im Koordinatensystem richtig ist. Jetzt fehlt uns nur noch b, und das zeige ich im nächsten Film, wie das geht. Bis dahin. Viel Spaß. Tschüss!

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