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Transkript Lineare Funktion aus zwei Punkten bestimmen – Formel (2)

Hallo! Lineare Funktionen sind das Thema. Im letzten Film habe ich gezeigt, wie man aus 2 beliebigen Punkten, die man gegeben hat, die Steigung ermitteln kann. Und ich hatte die Frage gestellt: Wenn jetzt die Punkte in der anderen Reihenfolge gegeben sind, als die im letzten Film gegeben waren, kann man dann immer noch genauso die Steigung ermitteln, wie wir das gemacht haben? Dazu sage ich noch mal, welche Punkte gegeben waren, und ich tausche jetzt die Reihenfolge. Der 2. Punkt war im letzten Film, hatte die Koordinaten (3|2). Das war der 2. Punkt, das ist jetzt der 1. Der 1. hatte die Koordinaten (1|1) und wir hatten die Steigung so ausgerechnet, indem wir den 2. y-Wert genommen haben und minus den 1. y-Wert gerechnet haben. Das Ganze haben wir geteilt durch, jetzt kommt es, x2-x1. Und so sind wir zur Steigung gekommen. Die Frage ist jetzt: Wenn die Punkte in der anderen Reihenfolge gegeben sind, kann ich das dann genauso machen? Also, wenn ich jetzt x1 und x2 vertausche, kommt dann das Gleiche raus? Du kannst dir das zum einen am Koordinatensystem überlegen, aber da sind die, so wie man das intuitiv versteht, das ist sehr individuell. Ich möchte es hier gar nicht allgemein zeigen, weil es nämlich bei jedem Menschen anders ist. Bevor ich dir irgendwelche Erklärungen gebe, die du persönlich anders empfindest, sage ich lieber gar nichts dazu. Aber rein rechnerisch kann man sich davon überzeugen, dass dieser Quotient gleich bleibt, wenn man quasi diese Indizes vertauscht. Indizes sind diese kleinen Zahlen hier dran, also die 2 und die 1. Und um das zu zeigen, dass das das Gleiche ist, dazu gibt es einen Trick. Also, es ist eine vernünftige Rechnung, aber es wirkt immer wie ein Trick. Und zwar deshalb, weil man fast nicht darauf kommen kann, wenn man den nicht kennt. Oder diese Methode nicht kennt. Wenn man sie kennt, ist sie ganz einfach. Und der Trick, in Anführungsstrichen, ist also der, dass man mit -1 diesen Bruch erweitert. Das werde ich jetzt mal machen. Wir rechnen also -1×y2-y1 (ich glaube, das kann man nicht lesen, das mache ich noch mal in etwas größer). Also, wir haben die Erweiterung mit -1, wir haben also hier -1×(y2-y1), und hier erweitern wir auch mit, was heißt auch, wir multiplizieren auch mit -1. Erweitern bedeutet ja, den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. Das habe ich mit -1 gemacht, hier. Das kann man jetzt ausrechnen. Natürlich mit dem Distributivgesetz. Dann kommt hier heraus: -1×y2=-y2. -1×(-y1)=+y1. Und wir haben im Nenner -1×x2=-x2 und -1×(-x1)=+x1. Und die beiden Summanden jeweils, die beiden Summanden kann ich vertauschen, wegen des Kommutativgesetzes geht das. Also habe ich hier dann nämlich noch eine neue Zeile und schreibe diesmal das wirklich in groß. (y1-y2)/(x1-x2). Das ist also herausgekommen und das ist gleich m. Das sind ja hier alles Termumformungen, die ich gemacht habe. Das ist also jeweils das Gleiche. Und wie du siehst, kann man quasi die Indizes vertauschen. Das ist nichts anderes, als mit -1 erweitern. Und das gilt immer, egal ob diese Koordinaten positiv oder negativ sind. Diese Umformung, die ich gemacht habe, gilt ganz allgemein. Damit ist die Reihenfolge schon mal egal, das wissen wir aufgrund dieser Rechnung. Und wie das dann mit den anderen Quadranten aussieht und so was, zeige ich in den nächsten Filmen. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    War immer verwirrt weil einmal y2-y1 und einmal y1-y2 der Fall war. Jetzt hab ichs verstanden! :))

    Von Lea 25, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    hat mir geholfen

    Von Viola Steinmann, vor fast 3 Jahren