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Transkript Lagebeziehungen von Punkten und Geraden im Raum

In diesem Video geht es um Lagebeziehungen von Punkten und Geraden im Raum. Fangen wir an mit einem Punkt und einer Gerade und die Gerade schreiben wir in Parameterform. Fangen wir mal mit einem Beispiel an. Wir wollen testen, ob irgendwo auf der Geraden 1 0 2 + t × -3 4 1 der Punkt P mit den Koordinaten 4 2 1 liegt. Dazu setzen wir die Gerade mit dem Ortsvektor von P gleich, also mit 4 2 1. Was wir jetzt suchen ist also ein t, für das die Gleichung in allen 3 Koordinaten erfüllt ist. Man schreibt sich die Gleichungen zeilenweise auf. Aus der 1. folgt zum Beispiel t = -1. Dieses t setzt man dann in die 2. Gleichung ein und da kommt hier -4 raus. Es soll aber eigentlich 2 rauskommen. Also ist das nicht das richtige t für alle 3 Koordinaten. An der Stelle weiß man dann also schon, dass der Punkt nicht auf der Geraden liegt. Spaßeshalber kann man dann die -1 auch nochmal in die 3. Gleichung einsetzen und da kommt hier sogar zufällig das richtige Ergebnis raus. Wenn der Punkt aber auf der Geraden liegen soll, muss es ein und dasselbe t geben, das in alle 3 Gleichungen passt. Okay und wie können jetzt 2 Geraden im Raum zueinander liegen? Die können sich erstmal schneiden, das sieht so aus. Oder sie laufen so aneinander vorbei, das heißt dann windschief. Parallel sein können sie natürlich auch oder sie liegen aufeinander. Als erstes muss man herausfinden, ob die Richtungsvektoren die gleiche Richtung haben. Rechnerisch heißt das, sind sie Vielfache voneinander? Haben sie die gleiche Richtung, sind die Geraden parallel oder identisch. Haben sie nicht die gleiche Richtung, schneiden sie sich oder sind windschief. So jetzt gucken wir uns das mal an einem Beispiel an. Nehmen wir diese Geraden und schauen, ob es eine Zahl k gibt, mit der ich den Vektor 1 0 2 multiplizieren kann, sodass der Vektor -3 1 2 rauskommt. Schauen wir uns die 1. Zeile an, müsste also k = -3 sein. In der 2. Zeile gibt es nicht mal ein k, das die Gleichung erfüllt und in der 3. Zeile müsste k = 1 sein. So ein k gibt es nicht, die Vektoren sind also keine Vielfachen voneinander. Für die Geraden heißt das, dass sie sich schneiden oder windschief sind. Die 1. Frage ist also mit "nein" beantwortet und wir setzen die Geraden gleich, um rauszufinden, ob ein Schnittpunkt existiert. Wir haben 3 Gleichungen und 2 Unbekannte. Aus den ersten beiden Gleichungen bestimmen wir s und t. Aus der 2. Gleichung kann man zum Beispiel schnell s = 2 ablesen, das setzt man dann in die 1. Gleichung ein und erhält für t = -7. Dieses Zahlenpaar muss jetzt auch die 3. Gleichung erfüllen. Man setzt also entsprechend ein und überprüft, ob die Gleichheit gilt. Dies ist hier nicht der Fall. Es gibt also kein s und kein t, für das ein gemeinsamer Punkt entsteht. Die Geraden sind also windschief. Hätten s = 2 und t = -7 die 3. Gleichung erfüllt, so hätte man durch Einsetzen in die entsprechende Gerade den Schnittpunkt erhalten. Was passiert nun, falls im 1. Schritt die Richtungsvektoren tatsächlich die gleiche Richtung haben? Man prüft, ob der Punkt, der zum Stützvektor der einen Geraden gehört, auch auf der anderen Geraden liegt oder umgekehrt. Warum tut man das? Nehmen wir an, mein Daumen ist jeweils der Punkt, wo der Stützvektor an die Gerade andockt. Liegt er auch auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Tut er es nicht, sind sie parallel. Wird die Frage mit "ja" beantwortet, sind die Geraden also identisch, bei "nein" sind sie parallel. So jetzt wollen wir das Ganze nochmal übersichtlich darstellen. Zuerst überprüft man, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Ist das der Fall, prüft man, ob jeweils der Punkt, den man von der einen Geraden kennt, auf der anderen Geraden liegt. Gilt auch dies, sind die Geraden identisch. Ansonsten sind sie parallel. Sind die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander, setzt man die Geraden gleich. Hat das entsprechende Gleichungssystem eine Lösung, so schneiden sich die Geraden, hat es keine, sind sie windschief. Das war es! Und wenn ihr euch die Sachen nicht so gut vorstellen könnt, dann helfen eigentlich immer die Stifte für die Geraden.

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4 Kommentare
  1. Default

    mh ich hab irgendwie grad n brett vorm kopf :D aber wenn du t=-1 ausrechnest...was passiert mit dem x? weil wenn ich das ignoriere komm ich auch auf -1...also ignorier ich es einfach?^^

    Von Myrina, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Ach, stimmt. Minuszeichen glatt ignoriert....

    Von R Gross, vor fast 5 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Die Richtungsvekoren sind NICHT linear abhängig. Schau nochmal nach!

    Von Steve Taube, vor fast 5 Jahren
  4. Default

    Kann es sein, dass die Antwort der Frage falsch ist? Die sind doch identisch, oder nicht? Gleicher Stützvektor + linear abhängiger RV?

    Von R Gross, vor fast 5 Jahren