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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 2 (2)

Hallo, es geht weiter im zweiten Teil, mit der Kurvendiskussion dieser Funktion hier. Die ersten 3 Punkte haben wir schon, jetzt kommen die Achsenschnittpunkte. Achsenschnittpunkte sind die Schnittpunkte mit der x-Achse und der Schnittpunkt mit der y-Achse. Und um die Schnittpunkte mit der x-Achse herauszufinden - vielleicht ist es einer oder mehrere oder vielleicht überhaupt keiner - müssen wir einfach diese Funktion = 0 setzen. Das schreibe ich noch einmal auf. 1⁄3x4 -8⁄3x³+6x²=0. Und was macht man als erstes, wenn man eine Funktion 4. Grades hat? Als erstes versucht man das x auszuklammern. Wenn das geht, hat man gewonnen. Wenn das nicht geht, muss man vielleicht gucken, ob es sich nicht vielleicht eine biquadratische Gleichung handelt oder ob man andere Nullstellen kennt und dann kann man die Polynomdivision machen. Das brauchen wir hier aber nicht, denn wir sehen, wir können x ausklammern; nicht nur x, wir können sogar x² ausklammern. Und weil das das einfachste ist, macht man das immer als erstes. Ja, warum sich das Leben schwer machen, wenn es einfach auch geht. Also, wenn man hier jetzt x² ausklammert, dann haben wir x²×(1⁄3x²-8⁄3x+6)=0. Warum haben wir das jetzt gemacht? Weil jetzt der Funktionsterm ein Produkt ist. Für Produkte gilt: Ein Produkt ist nur dann 0, wenn ein Faktor 0 ist. Wir haben 2 Faktoren, nämlich einmal x² und die Klammer. x²=0, wenn x=0. Das bedeutet, eine Nullstelle haben wir schon gefunden. Und um die zweite zu finden oder noch eine mögliche zweite oder noch weitere Nullstellen müssen wir halt jetzt gucken, wann diese Klammer 0 wird. Das heißt also, wir müssten jetzt die Klammer = 0 setzen. 1⁄3x²-8⁄3x+6=0 und das ist eine quadratische Gleichung. Diese quadratische Gleichung möchte ich gerne lösen mit der p-q-Formel. Du kannst natürlich alle möglichen anderen Formeln nehmen, die da so eine Rolle spielen. Ich mache es jetzt mit der p-q-Formel. Da muss ich zunächst einmal mit 3 multiplizieren, damit hier vor dem x² nichts mehr steht. Dann haben wir x²-8x+18 - bitte hier wieder beachten, dass man jeden Summanden mit 3 multipliziert. Die andere Seite kann man - also kann man nicht nur, sondern muss man sogar - auch mit 3 multiplizieren. 0×3=0, deshalb steht hier wieder die 0. Ich sage das nur deshalb, weil oft Schüler meinen, das muss man nur auf einer Seite machen. Nein, nein, nein, das stimmt nicht. Das muss man auf beiden Seiten machen. Äquivalenzumformung macht man immer auf beiden Seiten. Aber in dem Fall ist das Ergebnis eben das gleiche wie vorher. Dann kann ich jetzt die p-q-Formel anwenden. Und zwar schreibe ich jetzt hier nicht x1/2, sondern x2/3 hin, denn x1 ist ja schon da. Es geht los mit -p⁄2, wenn ich für p -8 einsetze, wird aus -p⁄2=4, also kann ich einfach die 4 hinschreiben. Wenn dich das irgendwie verwirrt mit den Minuszeichen, kannst du noch einmal den Film gucken mit der p-q-Formel, da ist das ganz genau erklärt. Hier in der Klammer steht p⁄2², p=-8 zur Hälfte, ist dann -4, zum Quadrat ist 16, kann ich direkt hinschreiben und -q - das hier ist unser q - also -18. So und dann sieht man gleich, was passiert. 16-18 ist eine negative Zahl. Innerhalb der reellen Zahlen kann man aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen. Unsere Definitionsmenge ist die Menge der reellen Zahlen und deshalb haben wir keine weiteren Nullstellen hier. Da geht es dann also nicht weiter. Wie immer du das ausdrücken möchtest oder sollst, so wahrscheinlich nicht. Mache das dann einfach so, wie das in der Schule gefordert wird, was du dann in dem Fall hinschreiben sollst. Das bedeutet, unsere einzige Nullstelle ist also 0. f(0)=0; das ist der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse und weil dieser Schnittpunkt bei 0 ist, bei x=0, ist das auch der Schnittpunkt mit der y-Achse. Wie du das dann aufschreiben sollst jeweils, ist auch immer sehr unterschiedlich. Ich zeige das hier nicht weiter, da habe ich es angedeutet. Mache es einfach so, wie es in der Schule oder sonstwo gefordert wird. Dann kommen wir zu den Ableitungen und da schreibe ich noch einmal die Regel auf, die wir hier brauchen, nämlich die Faktorregel und die Potenzregel. Wenn wir eine Funktion haben, die die Form hat a×xn und wollen die ableiten, dann erhalten wir a×n×xn-1. Wenn man nur dieses xn betrachtet und dieses n×xn-1, dann ist es die Potenzregel, wenn dann noch ein Faktor davorsteht und der Faktor hier erhalten bleibt, ist es die Faktorregel und die brauchen wir hier. Wir brauchen außerdem die Summenregel zum Ableiten, denn diese Funktion hier, dieser Funktionsterm besteht aus mehreren Summanden und die können wir alle einzeln ableiten; das besagt die Summenregel.  Ja, dann geht es los mit f'(x)= wir müssen 1⁄3×x4 ableiten, x4 nach der Potenzregel ableiten und dann haben wir also hier für a 1⁄3 einsetzen und für n 4 einsetzen, haben wir 4⁄3x hoch - naja, n-1 ist dann 3. -8⁄3 ist a, n ist hier beim zweiten Summanden =3, -8⁄3×3=-8; ×x² kommt noch dahinter, wenn n hier =3 ist, +a=6, n=2, 2×6=12x hoch - 2-1=1; x¹ schreibt man in der Regel nicht, sondern einfach nur x. 2. Ableitung ist a=4⁄3, n=3. 4⁄3×3=4. x² kommt da hin. 3-1=2. a=-8×2=-16. 2-1=1. x¹ schreibt man nicht, sondern einfach x. 12x muss man noch ableiten. a=12, n=1. 12×1 bleibt 12, x1-1=x0. x0=1, ×1brauche ich nicht zu schreiben, es bleibt bei der 12. 3. Ableitung. 4×2=8, x¹ bleibt übrig,  -16x¹ müssen wir noch nach der Potenzregel ableiten. Das ist x0, das ist 1×1, das schreibe ich nicht, sondern einfach dann -16.  Ja, das sind die Ableitungen. Solltest du da Schwierigkeiten haben mit diesen Ableitungen, kannst du diese separat nochmal üben mit dem Film, in dem die Ableitungen geübt werden oder andere Übungsaufgaben dazu machen. Ist ja egal. Wir sind dann hier erst einmal fertig mit diesem Teil. Es geht im nächsten Teil weiter mit den Extrempunkten und den Wendepunkten. Viel Spaß damit, bis dahin, tschüss.

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