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Transkript Integralrechnung – Beispiel See (1)

Hallo! Ein Professor hat sich einmal darüber beschwert, dass die Studenten, die frisch an die Uni kommen, also direkt ihr Abitur gerade gemacht haben, zu wenig Mathematik können. Und er hat das daran festgemacht, dass seine Studenten, immerhin Studenten des Bauingenieurwesens, in der Regel nicht in der Lage sind, den Aushub einer Baugrube zu berechnen. Da habe ich mir gedacht, o.k. - dem Mann kann geholfen werden. Hier ist eine Baugrubenaufgabe und die geht so: Wir haben eine rationale Funktion, die heißt f(x)=(x2+2x-4)/(x-2). Der Graf sieht ungefähr so aus: Hier ist er zweigeteilt, hier eine Asymptote, ein Pol, x-Achse, y-Achse. Und ich nehme mal dieses kleine Stück hier raus. Das habe ich hier einmal hingemalt. Wir kennen schon die Nullstellen, hier -1-\sqrt5 und -1+\sqrt5. Wir kennen das Extremum, das ist hier das Maximum. Wir haben ja noch ein anderes Extremum, das ist bei (0|2). Und wir kennen auch die Fläche, die der Graf hier mit der x-Achse einschließt, das ist nämlich 5,717018664FE, ungefähr zumindest. Das ist ja ein gerundeter Wert. Hier steht zwar gleich, aber es ist ja ein gerundeter Wert. Also gut. Rein gedanklich befinden wir uns in einer Gartenausstellung. Die Gartenausstellung soll konzipiert werden. Dafür soll ein See angelegt werden, der diese Umrisse hat. Der Aushub für diesen See soll überall exakt 1,30m tief sein. Das schreibe ich mal eben auf. Also 1,30m Tiefe haben wir. Nun ist der See nicht ganz 1,30m tief, da kommen ja noch wasserdichtes Füllmaterial nach unten usw. und dann ist der See etwas flacher. Und das, was wir hier an Maßen haben, das sind nicht die Realmaße in Meter, sondern wir haben einen Maßstab angegeben. 1LE hier auf unserer Zeichnung sollen 10m in der Wirklichkeit sein. Was ist zu tun? Also solche Aufgaben kannst du durchaus auch im schriftlichen oder mündlichen Abitur bekommen. Das kommt immer ganz gut. Da kann man noch einmal so ein paar Grundlagen abfragen. Und so etwas wird dann schon einmal in der mündlichen Prüfung am Anfang gefragt, damit man schon einmal so ins Quasseln kommt und sich so einschwingen kann auf die Prüfungssituation. Ich hoffe, wir sind uns einig, dass wir, um den Aushub auszurechnen, die Fläche des Sees nehmen und multiplizieren mit 1,3m. Die Frage ist: Wie groß ist die Fläche des Sees in m²? Das brauchen wir ja jetzt. Die Flächeneinheiten, die hier sind, die bringen uns ja nichts. Nun wissen wir, dass eine Längeneinheit 10m entspricht. Und man kann den Versuch machen, wenn man jemanden im Leistungskurs fragt: Mit welcher Zahl muss ich jetzt diese Fläche hier multiplizieren, um auf die Quadratmeter zu kommen? Dann kommt oft die Antwort: Na klar, mit 10. Das ist aber falsch. Ich habe mir oft den Spaß gemacht und das einmal gefragt. Es kam sehr oft diese Antwort, man müsse mit 10 multiplizieren. Nein, das muss man nicht und ich zeige das eben. Hier ist eine Längeneinheit, 1LE. Und wenn wir hier auch noch eine Längeneinheit haben, 1 LE, dann ist das, was dann entstanden ist, ein Quadrat. Dieses Quadrat ist dann eine Flächeneinheit. Wenn eine Längeneinheit 10m lang ist, dann kann man das in 10 Teile einteilen. Und wir können hier auch noch einmal in 10 Teile einteilen. Dann haben wir hier in unserem Quadrat, in unserer Flächeneinheit, 10x10m², also 100. Das heißt, der Umrechnungsfaktor ist 100. Das wollte ich eben nur noch einmal ganz klar gezeigt haben. Das hast du auch früher gemacht in der Mittelstufe. Zentrische Streckung ist dir hoffentlich noch ein Begriff. Wenn du also mit einem bestimmten Streckfaktor streckst oder stauchst, dann verändert sich die Fläche auch um einen Faktor, und zwar Streckfaktor zum Quadrat. Und hier haben wir halt 10 zum Quadrat. Nur das noch einmal bisschen als Erinnerung an die Mathematik aus der Mittelstufe. Eine Angabe habe ich noch vergessen. Das macht aber nichts. Die kommt jetzt ins Spiel. Wir sollen ja den Aushub angeben, und zwar in m³. Und wir sollen runden auf Liter. Das ist so eine Vorgabe. Und mancher reibt sich jetzt verwundert die Augen und sagt: Wieso, wir sind doch jetzt bei Kubikmetern Erdaushub und nicht bei Flüssigkeiten. Ich habe es schon öfter gesagt und ich sage es gerne noch einmal. Liter ist ein Raummaß und kein Flüssigkeitsmaß. Man kann Flüssigkeiten mit Raummaßen messen, das geht. Aber Liter ist nicht unbedingt ein Raumaß, sondern 1 Liter ist 1 Kubikdezimeter. Wenn wir also diese Fläche nun in m² umrechnen, müssen wir mit 100 multiplizieren und kommen dann also auf 571,7018664m². Wenn wir das mit 1,3 multiplizieren, dann erhalten wir den Wert, den ich mal ungefähr vorbereitet habe. Also das Volumen des auszuhebenden Materials ist dann ungefähr 743,2124263m³. Und jetzt kommt halt die große Frage. Wir sollen jetzt auf Kubikdezimeter genau runden, das heißt auf Liter genau runden. Auf die wievielte Nachkommastelle müssen wir jetzt runden? Dazu müssen wir wissen, wie viele Kubikdezimeter, wie viel Liter in einem Kubikmeter sind. Und auch das ist eine Frage, die man oft und gerne stellen kann. Ganz oft kommen leider die falschen Antworten. Deshalb behandele ich das immer wieder, damit dann die falschen Antworten nicht kommen. Also wir haben auf einem Meter 10dm nebeneinander, wir haben 10dm hintereinander. Das macht also 100dm² auf der Fläche eines Quadratmeters. Ein Kubikmeter hat dann noch 10x10dm übereinander. Das heißt, wir haben also 1000dm³, 1000 Liter sind in einem Kubikmeter drin. Dann müssen wir noch überlegen, was hier die Tausendstelstelle ist. Wir haben die 1. Stelle nach dem Komma, das ist die Zehntel, die 2. Stelle Hundertstel, die 3. Stelle Tausendstelstelle. Das heißt, wenn wir auf die Tausendstelstelle runden wollen... Ich sage das deshalb, weil ich es öfter erklären muss. Also fühle dich nicht veräppelt, wenn du das schon weißt. Leider muss ich so etwas oft auch in der Oberstufe erklären. Also wenn wir auf die Tausendstelstelle runden wollen, müssen wir uns die Zehntausendstelstelle, also die 4. Stelle nach dem Komma anschauen. Da die jetzt hier kleiner als 5 ist, müssen wir abrunden. Das bedeutet, die 2 hier auf der 3. Stelle bleibt einfach stehen. Das heißt, wir haben jetzt einen Aushub von 743,212m³. Ich hoffe, die Informationen waren in dieser Gänze für dich nicht nötig. Falls sie es doch sein sollten, bitte gut einprägen und bitte immer wissen, das ist essenziell für deine Prüfungen und auch für dein weiteres Leben im Übrigen. Viel Spaß damit. Tschüss!      

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9 Kommentare
  1. Default

    Für mich trotzdem unrealistisch diese Aufgabe. Von den ganzen Nachkommastellen mal abgesehen.
    Es ist ja in der Realität eine Grundstücksfläche gegeben und nicht eine Funktion.
    Wie kommt man auf diese Funktion bei gegebener Grundstückfläche ?

    Von Awendorf, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    .. hat sich erledigt.. :-))

    Von Awendorf, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Hallo Herr Wabnik,
    also bevor man das Volumen berechnen kann, benötigt man ja die Fläche.
    Wie kommt man auf die Fläche A ?

    Von Awendorf, vor mehr als einem Jahr
  4. Giuliano test

    @Kimble99:
    Bei Minute 1:50 sagt der Tutor, dass der See an jeder Stelle exakt 1,30 m tief sein soll, d.h. du musst dir den See wir einen Körper vorstellen, der eine Grundfläche und von jedem Punkt der Grundfläche die gleiche Höhe besitzt. Stelle dir also einen Zylinder vor, der keinen Kreis als Grundfläche, sondern die Fläche A aus dem Aushub besitzt. Es gilt allgemein bei dem Volumen eines solchen Körpers:
    Volumen = Grundflächeninhalt * Höhe
    Hier müseen wir nur noch den Flächeninhalt A von FE in m² umrechnen. Der Maßstab war hier 1 LE= 10m, also 1 FE=(10m)²=100 m². Also müssen wir zunächst A noch mit 100 multiplizieren, um m² zu erhalten.
    Zuletzt erhalten wir also
    V=571,7018664 m² * 1,3 m = 743,2124263 m³.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Ich versteh nicht wie man aufs Volumen kommt.. beschreibt der Aushub die maße der Oberfläche des Sees?! Der See ist doch kein Rechteck sondern hat so eine bestimmte gebogene Form, wie kann ich denn da von einem 2 dimensionalen Wert(Fläche des See's und seine Tiefe) auf einen 3 dimensionalen Wert (das Volumen) kommen?

    Von Kimble99, vor etwa 2 Jahren
  1. Flyer wabnik

    Schüler sind - meiner Erfahrung nach - häufig felsenfest davon überzeugt, man müsse alles auf die zweite Nachkommastelle runden (warum auch immer). Dem wollte ich mit der Maßgabe, auf den Liter zu runden, entgegentreten.
    Das Lernziel ist, jede beliebige Größe auf jede beliebige Einheit runden zu können. Je nach Sachzusammenhang kann das die fünfte Stelle vor dem Komma oder auch die zwölfte Nachkommastelle sein. Das wird in der Praxis auch so gehandhabt, weshalb es keine pauschale Ingenieursgenauigkeit gibt.
    Es gibt auch das Lernziel, aus dem Sachzusammenhang zu ermitteln, auf welche Einheit sinnvoll gerundet werden kann. Das habe ich in diesem Film aber nicht behandelt. Dazu hätte es auch der Angabe der Bodenbeschaffenheit und des spezifischen Gewichts des Erdreichs bedurft, da zur Planung der einzusetzenden Maschinen wie auch der Anzahl der Lkw's das Volumen des Aushubs nur eine untergeordnete Rolle spielt.
    Sollen gegebene Daten in einer Sachaufgabe verwendet werden, ist es meist praktisch, wenn die Genauigkeit dieser Daten reichlich bemessen ist. Mir ist sehr wohl bekannt, dass manche Schüler sich beim Anblick von neun Nachkommastellen schier haltlos echauffieren können, obwohl das rein sachlich gar nicht nötig ist, denn wenn man weniger Stellen als die angegebenen braucht, kann man ja einfach welche weglassen. Ich hoffe, Schüler können auch anhand dieses Films bemerken, dass Nachkommastellen nicht gefährlich sind.

    Und noch eine kleine Anmerkung: Die Sonne beleuchtet einen Quadratmeter mit bis zu 100000 lm. Die menschliche Sehschwelle beginnt bei ca. 0,0000000000001 lm.

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 6 Jahren
  2. Default

    Entschuldigen Sie mich bitte. Es war nicht meine Absicht Sie anzugreifen. Ich schätze Ihren Einsatz zum besseren Verständnis der Mathematik.

    Mein Anliegen betrifft einfach die Angabe Ihrer Fläche mit neun Nachkommastellen. Und meine Frage steht daher noch offen: Ist das wirklich praktisch relevant? Ich meine, Sie messen Ihre Masse, Geschwindigkeit, Temperatur... doch auch nicht mit dieser Genauigkeit, oder? Es geht doch darum, dass die Schüler ein Gefühl für Werte, Zahlen und Größenordnungen bekommen. Eine Ingenieursgenauigkeit hätte hier wunderbar hineingepasst.

    Von Alija D, vor mehr als 6 Jahren
  3. Flyer wabnik

    Da ich den Flächenwert als bekannt vorausgesetzt habe, ihn also angegeben habe, fühle ich mich durch deine Kritik angesprochen. Wie fast alle anderen Aufgaben habe ich auch diese selbst konstruiert, daher finde ich es ziemlich gewagt von dir - um nicht zu sagen: unverschämt - mir vorzuwerfen, ich hätte nicht verstanden, worum es in meiner Aufgabe ginge.
    Aber bitte: Worum geht es denn bei dieser Aufgabe überhaupt?

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 6 Jahren
  4. Default

    Tut mir leid, aber wer einen Flächenwert auf neun Nachkommastellen exakt angibt, der hat nicht verstanden worum es bei der Aufgabe überhaupt geht. Ist das wirklich praktisch relevant?

    Von Alija D, vor mehr als 6 Jahren
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