Textversion des Videos

Transkript Hinreichende Bedingung für Extrema mit zweiter Ableitung

Hallo, es gibt eine hinreichende Bedingung für Extrema. Genauer gesagt gibt es zwei, die üblicherweise in der Schule besprochen werden. Einmal eine hinreichende Bedingung mit 2. Ableitung, einmal eine hinreichende Bedingung mit Vorzeichenwechsel. Hier hab ich einmal die hinreichende Bedingung vorbereitet, die mit der 2. Ableitung zu tun hat. Also die hinreichende Bedingung für Extrema, hier mit der 2. Ableitung, lautet: f'(x)=0 und f''(x) ungleich 0. Die Bezeichnungen sind da unterschiedlich, man kann auch hinreichendes Kriterium sagen. Es geht um Extrema, also um Maxima und Minima, ein Maximum oder ein Minimum ist ein Extrema oder man kann auch sagen ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist ein Extremum. Das bedeutet konkret, du bekommst also eine Funktion gegeben, f(x) mit irgendeinem Funktionsterm. Du kannst dann die 1. Ableitung bilden und die 1. Ableitung gleich 0 setzen. Dann bekommst du Lösungen dieser Gleichung heraus, also Nullstellen der 1. Ableitung, das heißt also x-Werte für die die 1. Ableitung gleich 0 ist, das sind die Nullstellen der 1. Ableitung. Eine solche Nullstelle kannst du dann in die 2. Ableitung einsetzen und wenn die 2. Ableitung an dieser Nullstelle der 1. Ableitung ungleich 0 ist, dann hat die Ausgangsfunktion f(x) an dieser Stelle, also an diesem x, was du da rausgefunden hast, ein Extremum. Das ist die Logik dahinter. Man kann das noch ein kleines bisschen genauer machen: Wenn an einer bestimmten Stelle die 1. Ableitung gleich 0 ist und wenn an dieser selben Stelle die 2. Ableitung größer als 0 ist, dann hat die Ausgangsfunktion f(x) dort ein Minimum. Wenn die 1. Ableitung gleich 0 ist und die 2. Ableitung an dieser selben Stelle kleiner als 0 ist, dann hat die Ausgangsfunktion f(x) an dieser Stelle ein Maximum. Viele merken sich das so, dass da das Gegenteil eintritt, weil viele Leute meinen, wenn die 2. Ableitung größer 0 ist, dann müsste es ja ein Maximum sein. Das Gegenteil ist richtig. Wie du dir das merkst, bleibt natürlich dir überlassen. Auf jeden Fall: so ist es richtig und nicht andersrum! Ja, ein paar Beispiele dazu. Ich hab schon im Film über die notwendige Bedingung dieses Beispiel hier mal gezeigt, wir haben hier eine Funktion f(x)=2x³-3x²-36x+1. Wir haben die 1. Ableitung gebildet und die gleich 0 gesetzt. Als Nullstellen der 1. Ableitung treten dann auf x1=-2 und x2=3. Wenn wir jetzt die hinreichende Bedingung verwenden wollen, dann müssen wir diese Nullstellen in die 2. Ableitung einsetzen. Hier ist die 2. Ableitung. Wenn man also -2 in die 2. Ableitung einsetzt, dann erhält man -30. Das bedeutet, nach dem was hier steht, die 1. Ableitung ist bei -2=0 und die 2. Ableitung ist an dieser Stelle, bei -2, also kleiner als 0, sie ist nämlich -30. Deshalb können wir sicher sein, dass die Ausgangsfunktion bei der Stelle -2 ein Maximum hat. Wenn du den Funktionswert, also den y-Wert, dieses Maximums ausrechnen möchtest, musst du dann -2 in die Ausgangsfunktion einsetzen, also f(-2) bilden. Oft ist es so, dass Schüler meinen, dass die -30 der Funktionswert wäre, also die y-Koordinate des Maximums. Das stimmt nicht, das kann zufällig übereinstimmen. Um die y-Koordinate auszurechnen, also -2, die Nullstelle der 1. Ableitung in die Ausgangsfunktion einsetzen. 2. Fall hier ist f''(3), 3 ist ja die andere Nullstelle der 1. Ableitung, wenn man die hier in die 2. Ableitung einsetzt kommt +30 heraus, das heißt wir haben diesen Fall hier: die 1. Ableitung ist 0, an derselben Stelle ist die 2. Ableitung größer als 0, deshalb können wir sicher sein, dass an dieser Stelle, also bei 3, ein Minimum ist. Um den y-Wert dieses Minimums auszurechnen, musst du dann 3 in die Ausgangsfunktion einsetzen, also in f(x). Und ich darf es vielleicht hier noch einmal erwähnen: beide male siehst du, dass die hinreichende Bedingung für Extrema aus 2. Teilen besteht. Sie besteht aus 2 Teilen, sie besteht nicht nur aus 1 Teil. Oft passiert es, dass Schüler meinen, das ist ja hier quasi für sich genommen die notwendige Bedingung, das ist richtig, und dann ist das andere hier die hinreichende, das ist falsch. Also die hinreichende an sich besteht aus 2. Teilen: 1. Ableitung ist 0, 2. ist ungleich 0! So, ein anderes Beispiel dazu, ist dieses hier, das sollte jetzt in umgekehrter Reihenfolge kommen, macht nichts. Wir haben f(x)=x³+6x²+12x+1. Wir können die 1. Ableitung bilden, das ist die hier, das kannst du sehen, die 1. Ableitung ist 0 an der Stelle x=-2. Also eine etwas ähnliche Situation, wie wir sie gerade schon hatten. Wir können die Nullstelle der 1. Ableitung, also -2, in die 2. Ableitung einsetzen. Die 2. Ableitung ist 6x+12. Wenn wir die Nullstelle der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen, stellen wir fest, dass die 2. Ableitung = 0 ist. Das bedeutet, dass die hinreichende Bedingung an dieser Stelle für diese Funktion nicht erfüllt ist. In dem Fall hat die Ausgangsfunktion f(x) bei der Stelle -2 keinen Extrempunkt. Da sagen sich viele: klar, ist ja auch logisch, denn die 2. Ableitung ist ja auch 0, die hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt, also ist die Sache klar. Falsch, falsch, falsch! Ich sag das deshalb so, weil das immer wieder doch gemeint wird. Also wenn die hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist, heißt das nicht, dass da kein Extremum ist. Es kann sein, dass die hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist und dann trotzdem ein Extremum ist, das geht! Ich zeig das jetzt! Wir haben folgende Situation: Wir haben eine Funktion f(x)=x4+4x³+6x²+4x+1. Wir können die 1. Ableitung bilden, dieser Funktion, die sieht so aus. Wir können die 2. Ableitung bilden, die sieht so aus. Wir können die 1. Ableitung = 0 setzen. Dann stellen wir fest, die 1. Ableitung ist 0, wenn x=-1 ist. Des Weiteren können wir feststellen, wenn wir jetzt -1 in die 2. Ableitung einsetzen, dass dann die 2. Ableitung auch 0 ist. Das heißt, wir können das so schreiben: f''(x) ist auch gleich 0, genau dann wenn x=-1 ist. Die 1. Ableitung ist 0 und die 2. ist auch 0, wenn x=-1 ist. Trotzdem hat diese Funktion bei -1 ein Minimum. Es geht also nicht zu sagen, wenn die hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist, dann hat die Funktion auch kein Extremum, das ist falsch. Richtig ist hingegen, wenn die hinreichende Bedingung erfüllt ist, dann hat die Funktion ein Extremum, aber umgekehrt gilt das nicht, das heißt nicht, wenn die Funktion ein Extremum hat, dann muss auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein. Hier ist die Ausnahme, diese Funktion hat ein Extremum, sie hat ein Minimum, und zwar bei -1, trotzdem ist die hinreichende Bedingung nicht erfüllt. Weil das so wichtig ist und andauernd vorkommt und andauernd abgefragt wird, es gibt kaum eine Abiturprüfung, in der das nicht gefragt wird, noch ein plastisches Beispiel: Wenn ich dieses Hemd wasche, dann ist es sauber. Das ist die hinreichende Bedingung für die Sauberkeit des Hemdes. Das heißt aber nicht, dass immer, wenn ich ein Hemd anhabe, das sauber ist, das es dann auch vorher von mir gewaschen wurde. Ich könnte es ja auch vorhin gekauft haben. Das Hemd habe ich noch nie angehabt, wenn ich es anziehe, ist es sauber, trotzdem habe ich es nicht gewaschen. Ich hoffe, dass war plastisch genug, das zu hinreichende Bedingung, viel Spaß damit und du wirst bestimmt viel Spaß damit haben, so oder so, tschüss!

Informationen zum Video
5 Kommentare
  1. Default

    Hallo,
    habe gerade ein Beispiel gefunden, wo die hinreichende Bedingung der zweiten Ableitung nicht erfüllt ist, obwohl ein (lokaler) Hochpunkt vorliegt.
    f(x) = 3x^5-5x^4
    Die erste Ableitung ist Null, als f'(x) = 0 bei x = 0 oder auch bei
    x = 4/3.
    Nun ist bei x = 0 die zweite Ableitung nich ungleich 0, da f``(0) = 0;
    womit die hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist. Dennoch gibt es beim Punkt P (0/0) ein Hochpunkt, was man anhand des Vorzeichen-Wechsels von "plus" (links von P) und "minus" (rechts von P) nachweisen kann.
    Fazit: Wenn die hinreichende Bedinung erfüllt ist, dann muss es ein Extremum geben.
    Wenn die hinreichende Bedingung aber nicht erfüllt ist, dann kann es dennoch ein Extremum geben.

    Wenn es wahr ist, dass gilt: Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. Dann kann die Straße durchaus auch nass sein, obschon es nicht regnet.
    Ist doch logisch - oder?

    Von Eemilelv, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Hallo Herr Wabnik,
    ich bedaure sehr, dass Sie keine mathematische Logik – in diesem Leben wenigstens nicht – anbieten können; das ist wirklich Schade!

    Jetzt aber eine kleine Frage zur hinreichenden Bedingung von Funktionen.
    Die Funktion f(x) = x^4 hat als vierte Ableitung den Wert 24, also ungleich 0.
    Kann man dies nicht als hinreichendes Kriterium für das Vorhandensein des Tiefpunkts ansehen?

    Von Eemilelv, vor etwa einem Jahr
  3. Flyer wabnik

    @Eemilelv: Dein Vorgehen ist so okay.
    Was die Videos zum Thema "Logik" angeht: Da ich mathematische Logik studiert habe, bin ich wohl in der Lage, dieses Thema zu bedienen und hätte sicher auch großen Spaß daran.
    Allerdings ist die Zielgruppe verschwindend gering und ich komme kaum hinterher, meine Videos für viel mehr Lernende auf dem neuesten Stand zu halten. Deshalb wird es in diesem Leben wohl nichts mehr mit Logik-Videos.

    Von Martin Wabnik, vor etwa einem Jahr
  4. Default

    Hallo Tutor Martin Wabnik!
    Da war ich doch neugierig (nachdem ich schon „ewig nichts mehr mit Mathe“ zu tun hatte (wollte mich schon mit den Enkelkindern wieder einschulen lassen) und habe mir die Funktion
    f(x) = x^4 + 4x^3+6x^2+4x+1 angesehen. Zuerst habe ich mir überlegt, dass aufgrund der Potenz von 4 eine Parabel entstehen müsste und dann festgestellt, dass die Nullstelle bei x = -1 liegt, genau wie die Nullstellen der Ableitungen f‘ und f‘‘. Damit war zwar die notwendige Bedingung erfüllt, nicht aber die hinreichende Ergänzung, da f‘‘(x) nicht ungleich Null ist. Dass die Funktion wirklich einen Tiefpunkt bei T(-1/0) hat, habe ich mir durch die Steigungsrichtungen bestätigt: Links von T ist sie negativ und Rechts von T positiv; das kann man ja mit der Funktion t'(x), die ja das Steigungsverhalten von f(x) beschreibt, leicht herausfinden.

    Fazit: Es gibt ein Extremum, obschon die hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist.
    Also lautet die Argumentation: Wenn die hinreichende Bedingung (die aus zwei Schritten besteht) erfüllt ist, dann gibt es notwendigerweise ein Extremum. Gibt es aber ein Extremum, dann muss die hinreichende Bedingung nicht in jedem Fall erfüllt sein.
    War mein Vorgehen so okay?
    Beste Grüße
    Senior EE
    PS: Ich glaube ich bekomme durch die Videos nun auch wieder Spaß an Mathematik.
    Wie ist es eigentlich mit Logik. Ich habe mir mal ein altes Buch gekauft: Alfred Tarski, Einführung in die mathematische Logik. Es wäre schön, wenn Sofatutur passende Videos zu dieser Disziplin generieren könnte!

    Von Eemilelv, vor etwa einem Jahr
  5. Default

    Ei, guten Tag.
    Das war schön, dass Sie ausdrücklich darauf hingeweisen haben, dass die Bedinung zwischen (1) der hinreichenden Bedinung als Voraussetzung für (2) die Existenz eines Extremums, also der Bedingungssatz "Wenn (1), dann (2)" nicht umkehrbar ist. Das erinnert an den oft gebrauchten Satz "Wenn es regnet, dann wird die Straße naß." Und wenn dieser Satz wahr ist, dann muss die Umkehrung nicht notwendigerweise wahr sein.
    Ist das so gemeint?

    Von Eemilelv, vor etwa einem Jahr
Alle Videos & Übungen im Thema Grundlagen zur Kurvendiskussion »