Textversion des Videos

Transkript Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung – Erklärung (2)

Hallo! Im letzten Film habe ich etwas über Hauptsatz der differenzialen Integerrechnung erzählt, und zwar habe ich das mit Papierstreifen veranschaulicht. Da wird sich mancher gedacht haben: „Ja, das ist aber nicht ganz fair, denn diese Papierstreifen sind ja konstante Funktionen.“ Und normalerweise sind Funktionen nicht konstant, sondern die hüpfen da irgendwie so rund im Koordinatensystem herum, und deshalb möchte ich heute zeigen, wie man das Ganze, diesen Hauptsatz also, auch verstehen kann, an runden Funktionen. Dazu stelle ich mir erst mal eine Funktion vor, und zwar diese Himmelsfunktion hier, ich zoome das mal eben ran, damit man sehen kann, dass da auch schöne Wölkchen drauf sind. Und ich stelle mir das vor als konstante Funktion, die dann gleich etwas runder wird. Und zwar ist hier der Funktionswert 0, da ist der Funktionswert konstant und da ist er wieder 0. Diese Funktion möchte ich in dieses Koordinatensystem, könnte ich so einsetzen, aber in dieses Koordinatensystem möchte ich eine Flächeninhaltsfunktion von dieser konstanten Funktion einzeichnen. Dazu kann ich mir überlegen, an dieser Stelle hier, bei 0, wie viele Wolken habe ich da auf meinem Himmel? Überhaupt keine, da ist die Flächeninhaltsfunktion also 0, die Wolkeninhaltsfunktion, wie auch immer. Hier, am Ende, am Ende des Himmels ist der Himmel vollständig, da ist die 1. Wie viele Wolken sind das? Ich schätze mal 77, das heißt, hier ist man nicht nur im Himmel, und nicht im 7. Himmel, sondern im 77. Ich muss verrückt sein. Und deshalb werde ich jetzt einfach mal hier diese Flächeninhaltsfunktion einzeichnen. Hier ist die 77, 77 Wolken sind am Himmel. Jetzt kann ich mir eben überlegen: Ist das tatsächlich eine Flächeninhaltsfunktion? Wenn ich jetzt zum Beispiel hier auf die Hälfte des Himmels gehe, dann sieht man hier, dass dann auch nur die Hälfte der Wolken vorhanden ist. Der Funktionswert ist dann auch die Hälfte. Ich kann mir vorstellen, ob dieser Hauptsatz jetzt auf diese Flächeninhaltsfunktion zutrifft. Und zwar überlege ich mir, dass diese Steigung konstant ist, also die Ableitung dieser Flächeninhaltsfunktion, ist eine konstante Funktion, und zwar die hier. Das heißt, unsere Welt ist hier noch in Ordnung. Jetzt werde ich die Funktion mal etwas runder machen. Und zwar, indem ich hier was abschneide, von dem Himmel, und dann an anderer Stelle wieder anklebe. Und zwar hier oben. So, der Himmel ist jetzt ein bisschen eckiger geworden, vielleicht. Mit mehr Ecken und Kanten. Jetzt stelle ich mir vor: Wie sieht die Flächeninhaltsfunktion von dieser Funktion aus? Nicht rechnen, rein gefühlsmäßig vorstellen. Also quasi mit weiblicher Intuition, ich stelle mir vor, ich wäre weiblich, hätte Intuition, und komme darauf, dass jetzt hier bis zur Hälfte mehr Wolken entstanden sind. Da zum Beispiel. Und hier entstehen nicht mehr so viele Wolken, da ist der Himmel ja auch flacher geworden. Aber die Flächeninhaltsfunktion kommt wieder hier an, denn es ist ja hier die gleiche Anzahl, die gleiche Fläche da, wie vorher auch, sie ist nur anders verteilt. Deshalb müsste so ungefähr die Flächeninhaltsfunktion aussehen. Was man hier jetzt wieder sieht, auch mit reiner weiblicher Intuition, bzw. gefühlsmäßig, hier ist die Funktion steiler, weil ja auch hier der Funktionswert, von der Funktion, von der wir den Flächeninhalt bestimmen, größer ist. Hier steigt die Funktion weniger und der Funktionswert ist hier auch kleiner. Das bedeutet, hoher Himmel, hohe Besteigung, flacher Himmel, flache Steigung. Das bedeutet also, diese orangene Funktion, die kann ich ableiten und bekomme genau diese Ausgangsfunktion. Und das ist das, was in diesem Hauptsatz steht, diese Funktion abgeleitet ergibt diese Funktion. Um das jetzt weiter rund zu kriegen, möchte ich hier noch ein bisschen was abschneiden. So, und da dransetzen. So ungefähr, muss nicht ganz genau sein. Und hier vielleicht auch noch ein bisschen was nehmen. Das kommt jetzt hier oben dran. Jetzt ist der Himmel also etwas, na ja, er hat ein bisschen mehr Form bekommen. Ich frage mich: Wie könnte diese Flächeninhaltsfunktion aussehen? Nun, da denk ich mir, das mach ich jetzt in Lila, bis hierhin habe ich jetzt weniger Himmel, als ich gerade eben hatte. Das bedeutet, diese Flächeninhaltsfunktion verläuft unter der orangefarbenen Kurve. Die Flächeninhaltsfunktion holt aber bis hierhin wieder auf. Nämlich bis zu dem Wert, wo sie gerade auch war. Hier ist es etwas anders. Da ist nämlich erst die neue Funktion größer als die alte, das ist bis zur Hälfte, also bis hier der Fall. Und hier ist sie wieder etwas flacher. Wieder zum gefühlsmäßigen Nachvollziehen. Diese Funktion ist jetzt auf dem Bereich kleiner geworden, die Ableitung ist auch nicht mehr so groß. Die Steigung ist also nicht mehr so groß. Hier ist die Steigung größer, denn da ist die Funktion auch größer. Es entsteht ja in diesem Bereich mehr Himmel als in diesem Bereich entsteht. Hier ist die Funktion etwas steiler als diese, denn von hier nach hier ist etwas dazugekommen, da ist sie wieder flacher. Und am Ende sind es genauso viele Wolken, nämlich 77, wie vorher auch, die jetzt nur anders verteilt sind. Und genau dasselbe steht in diesem Hauptsatz drin. Wenn ich das jetzt also immer weiter machen würde, dann würde das immer runder werden und diese Steigung hier, diese Steigungen würden sich genau an diese Rundung anpassen. Wenn man das also noch formal aufschreiben würde, könnte man sehen, dass man dadurch eine Definition des Integrals erhält, und den Hauptsatz, da ist er, noch dazu. Dann wünsche ich uns allen viel Spaß beim Denken. Bis bald. Tschüss!

Informationen zum Video