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Transkript Gebrochenrationale Funktionen – Pol und Definitionslücke

Hallo, hier ist eine rationale Funktion f(x)=x2+2x-4 und das Ganze geteilt durch x-2. Wir wissen schon, der Definitionsbereich besteht nicht aus allen reellen Zahlen, deshalb steht hier, die Definitionsmenge ist gleich - ich lese das einmal ganz genau vor - die Menge der reellen Zahlen, ohne die Menge, die die Zahl 2 enthält.  In kurz kann man auch sagen, alle reellen Zahlen außer 2.  Wenn man für x 2 einsetzt, dann wird der Nenner 0. Das ist nicht definiert, daher die Definitionslücke und hier soll jetzt einmal interessant sein, was in der Nähe der Funktionslücke passiert. Das bedeutet, was machen die Funktionswerte? Kann man da irgendwo eine Tendenz erkennen, wenn sich x der 2 annähert? Und rein zufällig habe ich da einmal etwas vorbereitet. Und zwar das hier. Ich stelle das einmal so vor, wie das in Schulbüchern üblich ist. Als Mathematiker bin ich mit der Exaktheit nicht ganz einverstanden, aber ich versuche einmal das meiner Meinung nach Beste daraus zu machen und das sieht also so aus. Wir haben x->2, und zwar in diesem Fall soll jetzt einmal x>2 sein. Wenn man das auf der Zahlengeraden anguckt, dann nähert sich x von rechts der 2. Was passiert im Zähler? (x2)>4, wenn x>2 ist. (2×x)>4, wenn x>2 ist. (2×x-4)>0, wenn x>2 ist. Der ganze Zähler ist damit größer als 4 und dann müssen wir einmal gucken, was im Nenner passiert. (x-2) haben wir im Nenner. Wenn x>2 ist, dann ist x-2 positiv und konvergiert gegen 0. Und als Ganzes können wir dann folgende Situation hier feststellen. Wir haben einen Zähler, der größer ist als eine bestimmte positive Zahl und wir haben einen Nenner, der positiv ist und gegen 0 geht. Das bedeutet, der ganze Bruch geht gegen + unendlich. Zweiter Fall: x->2 und x soll kleiner als 2 sein, das heißt, das x nähert sich von der linken Seite auf der Zahlengeraden der 2. Dann wissen wir, dass x2 Der Nenner ist kleiner als 0, wenn x Nun, was haben wir im Ganzen erreicht? Fang ich schon an zu bellen hier. Wenn man von rechts kommt, gehen die Funktionswerte gegen plus unendlich und wenn man von links kommt - jetzt einmal so salopp gesagt - gehen die Funktionswerte gegen minus unendlich, das heißt, es ist ein Pol mit Vorzeichen wechsel oder ma kann auch sagen, eine Asymptote, die parallel zur y-Achse ist, und zwar mit Vorzeichen wechsel. Ja, dann ist dazu alles gesagt. In späteren Filmen kommen noch gewisse Zeichnungen dazu, dann kann man das noch schöner sehen. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss!

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2 Kommentare
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    bin auch Marcels Meinung. Hat mich nur noch verwirrt :(

    Von Levinsz, vor mehr als 2 Jahren
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    habs verstanden, thx :)

    Von Klingner, vor fast 4 Jahren