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Transkript Gauß-Algorithmus – Beispiel (2)

Hallo, hier ist wieder ein Gleichungssystem, was du mit dem gaußschen Eliminations Algorithmus lösen kannst, oder einfach halt mit dem Gauß-Verfahren. Mathematisch gesehen passiert hier nicht viel. Dieses Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung und die Lösung ist ganzzahlig. Die Umformungen, die gemacht werden, sind mathematisch gesehen völlig einfach. Also, ist Mittelstufenmathematik, sagen wir mal so. Warum zeige ich dieses Beispiel? Einfach deshalb, weil es wichtig ist, dass du diese Gleichungssysteme ein bisschen übst, dass du damit sehr sicher bist, dass du dich darauf verlassen kannst, was du da rechnest, denn es wird nicht bei Gleichungssystemen bleiben, die eine eindeutige ganzzahlige Lösung haben. Wenn das so wäre, dann könntest du während, oder innerhalb der Rechnung schon sehen, ob du noch richtig rechnest. Ja, wenn du da irgendwelche wilden Zahlen und Wurzeln und sonst noch etwas heraus bekommst, dann kannst du davon ausgehen, dass du wahrscheinlich irgendwo einen Fehler gemacht hast. Muss nicht unbedingt sein, aber das wäre dann zu vermuten. Aber so bleibt es halt nicht. Es werden auch Gleichungssysteme auftauchen, die eine eindeutige Lösung haben, die aber nicht ganzzahlig ist. Es werden Gleichungssysteme auftauchen, die keine Lösung haben, dann wirst du irgendwelche Widersprüche herleiten können, oder  es werden Gleichungen einfach verschwinden und so weiter und so fort. Da ist alles möglich und  deshalb ist es dann wichtig, dass du dich wirklich auf deine Rechnung verlassen kannst, dass du genau weißt, dass du richtig gerechnet hast, weil du ansonsten keinen Anhaltspunkt mehr hast, um das zu kontrollieren. Nun denn. Was wollen wir hier erreichen? Wir möchten hier eine 0 haben und da eine 0 haben. Oder noch mal zurückgeschraubt, was machen wir eigentlich? Wir wollen dieses Gleichungssystem in ein anderes Gleichungssystem umformen, das die gleiche Lösung hat wie dieses Gleichungssystem, aber das neue Gleichungssystem soll in bestimmter Weise einfacher sein als dieses hier und dann werden wir das neue noch mal umformen und dann Lösungen ablesen können. Umformungen sind immer so, dass die Lösung beziehungsweise die Lösungsmenge hier erhalten bleibt. Ich sage das hier auch noch mal, weil es wichtig ist, dass du dir immer Gedanken machst, darüber, was tu ich hier eigentlich und nicht einfach irgendwelche Operationen, Rechenoperationen ausführst und hinterher überhaupt keine Ahnung hast, was das eigentlich gewesen ist, was du da gemacht hast. Also, wir wollen hier eine 0, und da eine 0 haben, in dem neuen Gleichungssystem, und da wir ja Gleichungen, Zeilen also, multiplizieren, können mit Zahlen ungleich 0 und auch Zeilen zueinander addieren und auch voneinander abziehen können, schlage ich folgendes Vorgehen vor: Wir nehmen die erste Gleichung und subtrahieren das Dreifache der zweiten Gleichung. Dann steht nämlich hier: -3x, ja also da haben wir ja die 3x, -3x das ist zusammen 0. Ebenso kann man hier in der dritten Zeile Folgendes machen: Also die neue dritte Zeile wird das Ergebnis dieser Rechnung sein. Da wird dann also stehen das Zweifache der ersten Zeile minus das Dreifache der dritten Zeile. Das Zweifache der ersten Zeile sind dann 6x, das Dreifache der dritten Zeile hier an der Stelle das sind auch 6x und wenn wir die voneinander abziehen, dann steht in der neuen dritten Zeile, in unserem dann entstandenen neuen Gleichungssystem hier eine 0 und genau das wollten wir erreichen. Und rein zufällig hab ich das schon einmal hier vorbereitet. So sieht das neue Gleichungssystem aus. Die erste Gleichung wir einfach wieder abgeschrieben. Und bei der zweiten Gleichung hier, da ist also diese Rechenoperation durchgeführt worden. Eine Sache zeige ich noch mal. Wir haben also 2y minus das Dreifache von 5y. 3×5=15. Wir haben 2-15 und das sind -13 und so geht das hier munter weiter. Man nimmt eben -4z und rechnet minus das Dreifache von 3z und kommt eben auf -13z. Und hier hinten nimmt man dann einfach die Zahl 9-3×16. Das sind -39 und in der dritten Zeile macht man das ganz genauso. Das erzähle ich jetzt nicht alles. Du kannst das selber ausrechnen und dann hier noch einmal überprüfen mit den Zwischenschritten. So weißt du immer, ob du dich irgendwo verrechnet hast, oder nicht. Dann möchten wir dieses Gleichungssystem auch noch einmal umformen, und zwar so, dass jetzt an der Stelle in dem neuen Gleichungssystem eine 0 steht, denn dann bekommen wir hier unten eine Gleichung mit nur einer Variablen, nur noch z wird vorhanden sein. Dann können wir z ausrechnen, dieses Ergebnis in die zweite Zeile einsetzen. Wir können dann y ausrechnen und so weiter geht es dann nach oben bis zum x. Dazu werden wir jetzt, wenn wir hier eine 0 haben wollen, können wir folgendermaßen vorgehen: Wir nehmen das 14-Fache dieser zweiten Gleichung hier, die jetzt hier römisch IIa heißt und subtrahieren das 13-Fache der dritten Gleichung. Warum? Wenn wir hier -13×14y rechnen und dann, langsam noch mal: -13×14y-14×13y, dann ist das zusammen 0.Ja das soll man hier halt sehen, dass das dann so ist und bei der restlichen Rechnung können wir uns ja mal überraschen lassen und auch das, na ich sag den Spruch jetzt nicht noch mal, das wird ja langweilig. Dann kommt also hier das folgende Gleichungssystem heraus. Auch das sollte eigentlich problemlos im Kopf gehen. Ja, wenn man hier jetzt rechnet -13×14, naja 13×13=169, also -169 minus eine 13 noch dazu sind dann -182+, Plus, weil -×- Plus ist, das 13-Fache von 11 dazu. Das 13-Fache von 11 ist 143, weil ja 10×13 130 ist, noch eine 13 dazu sind dann 143. Das sollte auch kein Problem sein, auch das kann man ganz bequem im Kopf rechnen. Das ist das neue Gleichungssystem. Wir haben die ersten beiden Zeilen wieder abgeschrieben und wir haben jetzt hier die dritte Zeile, die also heißt dann: -39z-39. Und ich glaube da muss ich nicht viele Worte drüber  verlieren.  z=1, das kann man hier eigentlich direkt ablesen. Und dann haben wir noch hier das Einsetzen. Wenn wir schon wissen, dass z=1 ist, dann können wir für dieses z was hier steht in der zweiten Gleichung 1 einsetzen. Wir erhalten eine Gleichung, die nur noch das y als Variable enthält. Die habe ich hier hingeschrieben, diese Gleichung. Und daraus sehen wir direkt, dass y=2 ist. Nicht wahr, wir rechnen +13 teilen durch 13 und dann kommt da halt 2 raus. Dann können wir y=2 und z=1 hier in die erste Zeile einsetzen. Wir erhalten: 3x+2×2-4. Das zusammen ist 0. Beide Seiten durch 3 teilen. x=3 kommt raus. Und jetzt könnte man natürlich noch die Probe machen, aber die ist so einfach, dass ich das jetzt nicht vormache. Das ist jetzt wirklich Grundschulmathematik. Es ist tatsächlich so, wir müssen nämlich um jetzt die Probe zu machen zum Beispiel rechnen 3×3+2×2-4×1. Das geht noch im Kopf, das mach ich nicht vor. Ich hoffe du hattest genauso viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
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    Ich finde die Viedeos gut aber sie sind gut

    Von Phillipp 1, vor 7 Monaten