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Transkript Fehlende Größen im Dreieck berechnen

Hallo, jetzt zeige ich ein paar Formelumformungen von Formeln in Dreiecken. Das mache ich deshalb, weil du normalerweise zu Dreiecken Textaufgaben bekommst. Eine Textaufgabe löst du, indem du erst den Sachverhalt, der im Text erklärt ist, so interpretierst, dass du erkennen kannst was gegeben ist, dann erkennst du was gesucht ist. Das was gegeben ist setzt du hier in Formeln ein und formst die Formeln so um, dass du die gesuchten Größen ausrechnen kannst. Dann setzt du die entsprechenden Zahlen für die gegebenen Größen ein und erhältst die Zahlen für die gesuchten Größen. Diese Zahlen musst du dann noch mal interpretieren und zwar im Sachzusammenhang der in der Aufgabenstellung gegeben ist. Das ist der normale Prozess beim Textaufgaben lösen und diesen kleinen Teil, wissen was gegeben ist, Formeln so umformen, dass die gesuchten Größen ausgerechnet werden können, den Teil zeige ich jetzt. Hat den Vorteil, dann hat man das separat, kann sich Gedanken darüber machen und muss sich bei einer Textaufgabe nicht alles auf einmal überlegen. Also wir haben Formeln im Dreieck, ich möchte nur die hier nehmen, es gibt natürlich noch mehr Formeln im Dreieck. Die spielen jetzt eine Rolle und zwar haben wir die Fläche im Dreieck ist ½×a×ha; d.h. also die Seite a mal die Höhe, die auf der Seite ist bzw. ½b×hb; ½c×hc; man kann auch einfach sagen Grundseite mal Höhe: G½×G×h geht auch. Das ist Ansichtssache, was man da am liebsten nimmt und wir haben den Umfang eines Dreiecks, das ist a+b+c, d.h. alle Seiten werden addiert, ich glaube das muss ich nicht weiter erläutern. Wenn wir nun folgendes gegeben haben: die Seite a, die Höhe ha, also die Höhe auf a und c, dann soll ausgerechnet werden die Fläche im Dreieck A und hc soll ausgerechnet werden. Wir wissen, dass die Fläche im Dreieck A=½×a×ha ist, d.h. ich brauche nur noch die Zahlen für a und ha einsetzen und erhalte dann die Fläche. Wenn ich c ausrechnen möchte, dann kann ich das über die Fläche machen und zwar kann ich die Formel A=½×c×hc umformen indem ich mal 2 rechne, dann habe ich schon mal 2A hier, ½ ist dann weg und ich teile durch c und dann bleibt hc hier stehen. Dann habe ich jetzt diese Flächenformel nach hc umgeformt und kann jetzt durch Einsetzen von A, das ist ja schon ausgerechnet und von c, hc ausrechnen. Dann ist dieser Fall erledigt, nächster. Wir könnten gegeben haben, die Seite a, die Höhe auf b hb und die Fläche A. Gesucht sind ha und b. Wir können unter Verwendung der Fläche A und unter Verwendung der Seite a die Höhe ha ausrechnen, so ähnlich habe ich das da schon gezeigt, ich zeige es gerne noch mal und zwar kann man ja diese Formel hier umformen, indem man mit 2 multipliziert, dann hat man 2×A und teilt dann noch durch die Seite a und hat diese Formel dann nach ha umgeformt und Einsetzen ergibt dann das was man gesucht hat. Man kann eine Flächenformel in der A und hb vorkommt auch umformen und zwar nach b, d.h. wir haben A=½×b×hb. Wenn man nun mit 2 multipliziert und durch hb teilt hat man diese Gleichung nach b umgeformt und kann jetzt durch Einsetzen von a und hb die Seite b ausrechnen. Das war es dazu. Jetzt könnte noch folgendes passieren, dass der Umfang gegeben ist, die Seite a, die Seite b und hb. Übrigens das was hier ist, das sind Semikola, die Mehrzahl oder der Plural von Semikolon. Das sind keine i oder j, ich wollte das nur der Vollständigkeit halber gesagt haben. Was wir jetzt suchen ist c und ha und hc auch noch und die Fläche A. Ich hoffe es ist noch halbwegs zu sehen, aber sonst sage ich es auch noch mal. Wir können die Fläche A ausrechnen, weil wir ja b und hb gegeben haben. So das ist die Formel, einfach anwenden, wohlfühlen, fertig. Dann können wir c ausrechnen und zwar weil wir ja den Umfang gegeben haben. Ich mache es einmal kurz vor, der Umfang ist ja a+b+c und das kann man umformen indem man -b und -a rechnet auf beiden Seiten und dann erhält man c. Das heißt über den Umfang kann man dann c ausrechnen und ich glaube den Rest brauche ich dann eigentlich nicht mehr vormachen, ha und hc rechnet man dann so aus, wie ich das da schon gezeigt habe. Man hat ja die Formel mit der Fläche, die Fläche haben wir schon ausgerechnet und dann geht das wie gewohnt weiter. Jetzt haben wir eine kleine, interessante Sache, die ein bisschen anders ist: Wir suchen hier ich glaube alle fehlenden Größen, wir haben nicht a gegeben wir wissen aber, dass a=2b ist und dass b=1,5c ist. Wir haben den Umfang und wir haben die Höhe hc und jetzt soll der Rest ausgerechnet werden. Wir wissen, dass b=a/2 ist, denn wir müssen diese Gleichung einfach durch 2 teilen. Hier haben wir noch eine Gleichung und zwar a=1,5c, deshalb wissen wir, dass c=a÷1,5 ist und das bedeutet, dass c=2/3a ist. Das was wir hier stehen haben, können wir jetzt in die Umfangsformel einsetzten, wir wissen ja Umfang ist a+b+c und statt b setze ich jetzt a/2 ein und statt c 2/3a, das bedeutet, dass U=13/6a ist. Das ist halt die Bruchrechnung, man muss jetzt hier auf den Hauptnenner erweitern, das ist halt 6 und dann kriegt man 13/6, das mache ich jetzt nicht im Einzelnen vor, das kannst du mit der Bruchrechnung denke ich. Das bedeutet, dass a=6/13U ist oder 6/13×U kann man auch schreiben, das ist ja egal. Das wiederum heißt, wir haben nun a, wir können a ausrechnen weil wir ja den Umfang haben. Wenn wir a ausrechnen können, können wir auch b ausrechnen mit dieser Formel hier und wir können auch c ausrechnen. Wenn wir also c nun ausgerechnet haben, dann können wir die Fläche A bestimmen, indem wir ½×c×hc rechnen, deshalb brauchen wir eine Höhe. Wenn wir nun die Fläche ausgerechnet haben und z.B. die Höhe auf a bestimmen wollen, dann können wir wieder die entsprechende Flächenformel mit 2 multiplizieren und erhalten dann 2 mal die Fläche, geteilt durch a gleich ha und bei hb macht man das genau so. So geht das Umformen hier mit den Formeln, vielleicht nicht das spannendste an der gesamten Mathematik, aber auch das muss sein. Wie beim Klavierspielen, da macht man die Czernyübungen oder sonst was, ist halt immer so und gehört mit dazu. Trotzdem viel Spaß, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Wp 000233

    Toll, dass du dich mit Klavierspielen auskennst.
    Ich finde solche Rätselaufgaben das mitunter Schönste an Mathematik!

    Von Juliane Viola D., vor 10 Monaten
  2. Default

    Hi
    Ich fand das Video gut und hab das Thema verstanden.
    was ich so gut fand:

    1.gut und laut geredet
    2.gute logik
    3.verständlich

    danke Mit freundlichen grüßen

    Von Ish Med, vor mehr als einem Jahr