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Transkript Exponentialgleichungen – Beispiele (3)

Hallo und herzlich willkommen zu diesem Video. Es geht um Exponentialgleichungen, und zwar wollen wir eine Gleichung lösen, in der Summen enthalten sind. Schauen wir uns folgende Aufgabe an: -42x-32x-2+9x+1-24x-2=0. In dieser Form ist es nicht sinnvoll, die Gleichung zu logarithmieren, denn Summen innerhalb von einem Logarithmus sind hier höchst unpraktisch. Wir müssen also probieren, die Gleichung in eine Form zu bringen, mit der wir etwas anfangen können und das gelingt, indem wir jeweils 2 gleiche Basen schaffen. Also folgendermaßen: die 4 können wir auch schreiben als 22, der Rest bleibt dann erst mal so und die 9 schreiben wir als 32. Die Exponenten können wir jetzt zusammenfassen, also -24x-32x-2+32x+2-24x-2=0. So und jetzt sehen wir, dass wir nur noch 2 verschiedene Basen haben, das hilft uns schon ziemlich weiter. Erst mal sollte man nun die Terme mit gleicher Basis jeweils auf eine Seite bringen, also -32x-2+32x+2=24x-2+24x. Ja und vielleicht erkennt ihr jetzt, dass wir der Form, zu der wir gelangen wollen, nämlich eine Gleichung ohne Summen, schon relativ nahe sind. Folgender Schritt ist nun sinnvoll: Nachdem wir schon gleiche Basen geschaffen haben, sollten wir auch die Exponenten aneinander anpassen, damit wir dann die Terme zusammenfassen können. Also Folgendes: 2x-2 bietet sich als gemeinsamer Exponent auf der linken Seite an. Wir schreiben also beim 2. Term 32x-2 und addieren dann 4 wieder hinzu. Ähnliches machen wir auf der rechten Seite. Hier ist der gemeinsame Exponent 4x-2, also schreiben wir beim 2. Term 24x-2 und addieren dann 2 wieder hinzu. Nach den Exponentialgesetzen können wir jetzt die 4 und die 2 im Exponenten jeweils auch als Faktor davor schreiben, also so × 34 und × 22. So und jetzt können wir die Summanden endlich zusammenfassen. Wir klammern also 32x-2 aus, übrig bleibt -1+34 und auf der rechten Seite klammern wir 24x-2 aus, dort bleibt übrig 1+4. So, 34 ergibt 81, -1 ist 80, wenn wir dann noch durch 1+4, also 5, teilen, erhalten wir 16×32x-2=24x-2. Und das ist jetzt genau die Form, die wir benötigen, um den Logarithmus auf die Gleichung anwenden zu können. Das mache ich jetzt auch, und zwar mit dem natürlichen Logarithmus, also ln16+ln32x-2=ln24x-2. Ja und hier habe ich gleich folgendes Logarithmusgesetz verwendet, nämlich das man ein Produkt innerhalb eines Logarithmus aufteilen kann auf die Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren. Als nächstes verwende ich folgendes Logarithmusgesetz, nämlich, dass ich den Exponenten innerhalb eines Logarithmus auch als Faktor davor schreiben kann. Dann erhalten wir also ln16+(2x-2), das war der Exponent,×ln3=(4x-2)×ln2. Als Nächstes multipliziere ich die Klammern aus und bringe alle Terme, die ein x enthalten, auf eine Seite, also 2x×ln3-4x×ln2=-2×ln2-ln16+2×ln3. Jetzt wird nur noch das x ausgeklammert und danach aufgelöst. Dann erhalten wir x=(-ln22-ln16+ln32)/ und das kommt jetzt von der linken Seite: ln32-ln24. Gleichzeitig habe ich hier noch das Gesetz verwandt, dass man den Faktor vor dem Logarithmus auch wieder zurück in den Exponenten schreiben kann. Das vereinfacht die Terme ein wenig. Jetzt kann dieses blaue Logarithmusgesetz auch noch rückgängig gemacht werden, damit die Gleichung noch ein wenig schöner aussieht. Man schreibt dann alle Argumente derjenigen Logarithmen, die ein positives Vorzeichen haben, in den Zähler im Logarithmus und die Argumente der Logarithmen, die ein negatives Vorzeichen besitzen, in den Nenner. Also so: x=(ln(9/(16×4)))/(ln(9/16)). Ein bisschen vereinfachen geht noch, das sind nämlich alles Quadratzahlen, also auch schreibbar als (ln(3/(4×2)2)/(ln((3/4)2)). Ja und nach dem Logarithmusgesetz können wir die beiden Zweien im Exponenten auch als Faktoren vor den Logarithmus schreiben und kürzen. Und schließlich noch unsere Lösungsmenge aufschreiben, die lautet dann (ln(3/8))/(ln(3/4)). So, das war jetzt eine ziemlich lange und unübersichtliche Aufgabe, also fasse ich noch mal die 5 Schritte zusammen, die man braucht, um zur Lösung zu gelangen: Also erst mal sollte man versuchen, dass man höchstens 2 unterschiedliche Basen innerhalb der Gleichung hat. Danach sollte man auch die Exponenten angleichen und dadurch die Terme zusammenfassen. Dann kann man wie gewohnt den Logarithmus auf die Gleichung anwenden. Anschließend holt man das x aus dem Exponenten und schreibt es vor den Logarithmus.

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1 Kommentar
  1. 188682 207488729276630 100000465136193 821582 5057692 n%5b1%5d

    wunderbar

    Von Stylerpi, vor fast 5 Jahren