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Transkript Exponentialgleichungen – Beispiele (1)

Hi, viel Spaß bei meinem Video "Einführung in die Exponentialgleichungen 1"! Ihr solltet möglichst schon Bescheid wissen, über die Potenzgesetze und auch die Logarithmusgesetze. Alles klar, wenn ihr so weit seid, springen wir gleich ins kalte Wasser. Als Gleichung nehmen wir 53-x=¼×3x. Der Lösungsraum befasst sich also mit allen Zahlen x Element R, die die angegebene Gleichung lösen. X Element R bedeutet, dass x jede Zahl der reellen Zahlen sein kann, das heißt, wir haben keine Einschränkungen im Definitionsbereich. Zuerst einmal wenden wir auf beiden Seiten den Logarithmus naturalis an. Ihr könnt auch einen anderen Logarithmus nehmen, aber in dem Beispiel finde ich den ganz gut. Dann sind also ln(53-x)=ln(¼×3x). Das schreiben wir jetzt noch mal ein bisschen um. Und jetzt kommen die Logarithmusgesetze zur Geltung. Aus "hoch" wird "mal" und aus "geteilt" wird "minus". Hier lösen wir jetzt die Klammer auf - und noch einmal die Logarithmusgesetze, aus "hoch" wird wieder "mal", und -ln(4) schreiben wir einfach ab. So, jetzt rechnen wir +x×ln(5) und +ln(4) auf beiden Seiten, mit anderen Worten: Wir bringen jetzt x auf die eine Seite und die Zahlen auf die andere. Jetzt wenden wir die Logarithmusgesetze umgekehrt an, also aus "mal" wird im Logarithmus wieder "hoch", aus "plus" wird im Logarithmus wieder "mal" - und dann noch ausrechnen. Jetzt noch durch ln(15) teilen und im Prinzip sind wir damit schon fertig. Wenn ihr wollt, könnt ihr x jetzt auch noch schreiben als Logarithmus zur Basis 15 von 500, anderes Gesetz. So, alles klar, weil das jetzt so viel Spaß gemacht hat, machen wir das doch noch mal. Diesmal nehmen wir als Gleichung 74x-3=5×92x. Der Definitionsbereich ist wieder mal alle Zahlen Element der reellen Zahlen. So, wieder auf beiden Seiten den Logarithmus naturalis, also den Logarithmus zur Basis e anwenden und wieder die Logarithmusgesetze anwenden. Aus "hoch" wird "mal" und aus "mal" wird "plus", außerdem wird da noch mal aus "hoch" "mal". Dann auf der linken Seite die Klammer auflösen und dann rechnen wir -2x×ln(9)+3×ln(7), also x auf die eine Seite und die Zahlen wieder auf die andere bringen. Die linke Seite schreibe ich jetzt noch gleich um, damit ihr seht, wie man das ausklammern kann und rechts, in einem Durchgang, aus "plus" wird "mal" und aus "mal" wird wieder "hoch", im Logarithmus. So, jetzt klammern wir x auf der linken Seite aus und rechnen das Innere des Logarithmus einfach mal aus. Das sind 1715. Weiter die Logarithmusgesetze im Kopf behalten, aus "minus" wird "geteilt", aus "mal" wird "hoch". So, dann rechnen wir den Spaß mal aus und teilen durch einen ganz komplizierten ln, da neben x. Wenn ihr ln(1715) in den Taschenrechner eingebt, erhaltet ihr 7,447 und ln(2401/81)=3,389 - und das ergibt ungefähr 2,2. Aber ihr könnt die Lösung auch gerne in ln-Form belassen. Gut, danke fürs Zusehen!

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21 Kommentare
  1. Felix

    @Sperlingpeter: 5^3 steht für 5*5*5, was gerade 125 ist. Damit kann man für ln(5^3) auch ln(125) schreiben. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor 10 Monaten
  2. Default

    Warum wird in Minute 1:41 aus ln (5^3) später ln (125) ?

    Von Sperlingpeter, vor 10 Monaten
  3. Img 2925

    Sorry aber wäre es vielleicht noch schneller gegangen? -.-

    Von Casper, vor mehr als einem Jahr
  4. Koala

    Dieses Video ist sehr hilfreich! Weiter so!!!

    Von Ajenth S., vor fast 2 Jahren
  5. Printimage

    Hallo Dave,

    5*7^3 = 5*7*7*7 = 35 * 7 *7 = 245 * 7 = 1715.
    Vielleicht hast du aus versehen in deinen Taschenrecher
    5 * 7 Enter
    ^3 Enter
    eingeben, dann rechnet er nämlich (5*7)^3 = 42875
    Beantwortet das deine Frage?
    LG

    Von Steph Richter, vor etwa 2 Jahren
  1. Default

    Hallo, wie kommst du auf LN 1715? wenn ich das im taschenrechner eingebe kommt was total anderes...

    Von Dave Damjanovic, vor etwa 2 Jahren
  2. Printimage

    Hallo, aahh ok dann liegt das Problem also doch an den Potenz/Logarithmusgesetzen.
    Ich versuche einmal ein paar zusätzliche Zwischenschritte zur Erklärung mit einzufügen

    x*ln(3)+ x*ln(5) = x * ( ln (3) + ln (5)) = ....Logarithmusgesetze... x * ln (3*5)

    Hier einmal ein Video zur Übung dieses Problems

    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/logarithmen-logarithmusgesetze-uebung

    Ich hoffe das hat jetzt geholfen =)

    Von Steph Richter, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Ich versuch es mal ausführlicher zu erklären, genauer genommen ist der schritt in dem Zeitabschnitt: 1:36. Aus Plus wird Mal. Ok das heißt,::: x * ln(3)--> + > * < was ich nicht verstehe ist jetzt der undenkliche Übergang x* ln(3*5) nur das kann ich nicht verstehen, es wäre von Vorteil wenn du dann kurz erläutern könntest inklusive zwischenschritten wie du auf x*ln(3*5) sprich logisch erklärst wie aus 2 x'se vor den ln*nen nur ein x wurde und wie aus zwei lnen ein ln wurde und letztendlich x*ln(3*5).
    ICH Hoffe jetzt habe ich mein Problem deutlich genug aufgezeigt und hoffe auf eine zielgerichtete Antwort. Danke :D

    Von Issam Stayler, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    Ich versteh nicht warum, aber immer wird nur der eine term geschrieben und der andere nicht ich mein x*ln(3)+ x*ln(5)

    Von Issam Stayler, vor fast 3 Jahren
  5. Printimage

    Aahh deine Frage bezieht sich darauf warum aus

    x * ln (3) + x * ln (5)
    der Termin
    x * ln (3*5) wird

    und nicht
    2x * ln (3*5)

    ln (3) und ln (5) sind bereits Faktoren für das x. Bei x+x = 2x würde die Aufgabe eigentlich so aussehen

    x*1 + x*1 = x * (1+1)= x*2 = 2x
    Hier wäre 1 der Faktor vor dem x.

    Aus

    x * 0,5 + x * 0,1
    wird ja auch
    x * 0,6 und nicht 2 * x * 0,6

    Sollte diese Erklärung nicht ausreichend sein, möchte ich dich auf meine beiden Videos hier verweisen die sich mit diesen Regeln befassen. Die Videos sind zwar für ein jüngeres Publikum gemacht, sollten es aber erklären.
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kommutativ-assoziativ-und-distributivgesetz-klammer1

    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/ein-und-ausklammern-klammer2

    Viel Spaß noch mit den anderen Videos auf der Plattform =)

    Von Steph Richter, vor fast 3 Jahren
  6. Default

    1:39

    Von Issam Stayler, vor fast 3 Jahren
  7. Printimage

    Hallo Issam,

    ich verstehe deine Frage leider nicht, wenn sie sich auf einen bestimmten Teil im Videobezieht, dann schreibe bitte den Zeitpunkt mit auf (zB 2:15) damit ich weiß wo genau deine Unklarheit liegt.
    Für direkte Hilfe empfehle ich ansonsten den Mathechat.

    Von Steph Richter, vor fast 3 Jahren
  8. Default

    eine frage warum wird das x * ln(3) nicht zu 2x*(ln 3*5) ?

    Von Issam Stayler, vor fast 3 Jahren
  9. Default

    Gut erklärt, aber so schnell, dass man nicht hinterherkommt, auch wenn man das Video nach jedem Schritt anhält ... :/

    Von Lea Clarissa, vor mehr als 3 Jahren
  10. Printimage

    Hallo Inky, Ja log15 (500) ergibt 2,29... Ich habe diesen Teil aber bewusst ausgelassen, da es hier um den Umgang mit den Gleichungen geht =)

    Von Steph Richter, vor mehr als 3 Jahren
  11. Printimage

    ln ist der sogenannte Logarithmus Naturalis der Logarithmus zur Basis e. E ist die eulersche Zahl 2,718.....

    Von Steph Richter, vor mehr als 3 Jahren
  12. Default

    was ist ln??

    Von Selma Reinhold, vor mehr als 3 Jahren
  13. Default

    Aber log15 (500) sind laut Taschenrechner = 2,294864436

    Von Gerrit I., vor fast 4 Jahren
  14. Default

    gut aber zu schnell............

    Von Alex ., vor fast 5 Jahren
  15. Default

    das sieht so einfach aus

    Von K Kevin, vor mehr als 5 Jahren
  16. Default

    echt gut erklärt etwas schnell vlt

    Von Slania, vor mehr als 5 Jahren
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