Textversion des Videos

Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^x•x

Hallo!

Eine Ableitung einer e-Funktion, bzw. der 1. und 2. Ableitung möchte ich hier zeigen. Wir haben folgende Funktion ex×x. Dabei ist zu beachten, dass das x hier natürlich nicht im, was heißt natürlich, also in diesem Fall steht das x nicht im Exponenten, sondern es ist ja hier eine Zeile darunter. Da muss man immer schön die Zeilen einhalten. Man kann auch sicherheitshalber x×ex schreiben, dann ist das klar wo das xe hingehört, wenn man einfach diesen Faktor nach vorne schreibt. So, wie geht das Ganze jetzt? Das soll abgeleitet werden. Wir stellen fest, dass es sich hierbei um ein Produkt handelt. Der Funktionsterm ist ein Produkt, deshalb muss man hier die Produktregel anwenden. Die Produktregel geht so: Wir haben eine Funktion, die folgendermaßen aussieht, die setzt sich zusammen aus einem Funktionsterm u(x) und einem Funktionsterm v(x), die beide multipliziert werden. Wenn das nun hier unsere Funktion f(x) ist, dann ist die Ableitung davon nämlich f´(x) = die Ableitung von u, also u´(f)×v(x)+u(x)×die Ableitung von v(x), nämlich v´(x). Das ist unsere freundliche Produktregel und die muss man hier dann einfach anwenden. Man muss sich vorher klarmachen, was ist denn hier in unserem Fall v und was ist u. Da jetzt hier der 1. Faktor der hier steht, ex ist, da sag ich also einfach mal u(x) ist bei uns ex. Dann ist v(x), passt kaum noch hin, einfach das x. Aber da steht es noch. Oh, der Stift sabbert etwas, macht nichts. Also, warum tut er das? Zuviel Tinte drin vielleicht. Also dann geht es weiter mit der 1. Ableitung dieser Funktion. Wir haben gesagt u(x), na erst mal hinschreiben, also f´(x), so. Wir haben gesagt u(x)=ex. Hier brauchen wir also, wie die Produktregel sagt, wir brauchen zunächst mal u´(x). ex abgeleitet ist wieder ex, deshalb darf ich hier einfach ex hinschreiben. Dann muss ich ×v(x) rechnen, v(x) ist bei uns x, also ×x. Pluszeichen abschreiben, dann kommt hier u(x). u(x) ist bei uns ex, also schreibe ich hier ex hin. Dann brauchen wir ×v´(x). v´ ist die Ableitung von x und die ist 1. Also steht hier ×1. Das könnte man fast so stehen lassen, bzw. ich erlaube mir das Mal, ×1 kann man weglassen, weil ×1 das Ergebnis nicht ändert, aber da ich jetzt die 2. Ableitung bilden möchte, ist es ganz praktisch, diesen Term hier zu einem einzigen Produkt zusammenzufassen. Hier habe ich ja, so wie der Term hier steht, habe ich die Situation ich habe ein Produkt, nämlich ex×x und einen Summanden. Das heißt, ich müsste erst die Summenregel anwenden und dann noch mal die Produktregel und das könnte dann irgendwann etwas umständlich werden, deshalb kann man hier das Ganze zusammenfassen zu einem Produkt, nämlich mit dem Distributivgesetz. Das heißt, ich kann ex ausklammern und dann steht da Folgendes: ex×(x+1). Manche fragen sich, wo kommt hier die 1 her? Naja es steht ja hier 1× dieses ex, also die 1, die ich gerade weggenommen habe, die taucht jetzt hier wieder auf. Ja, wenn man es einfach ausmultipliziert, hat man ja ex×x, das ist das, was hier steht und ex×1 ist das, was hier steht. Ja, aber das Distributivgesetz darf ich nur noch mal sagen, sollte für Dich kein Problem sein, auch mit e-Funktionen nicht, denn das musst Du Dir bitte immer wieder in das Gedächtnis zurückrufen und ja, es ist halt wichtig. So, also jetzt geht es zur 2. Ableitung. Wir finden wieder 1 Produkt vor, 1 Produkt ist es deshalb, weil die letzte Rechnung dieses Terms hier eine Punktrechnung ist, nämlich die hier. Bedeutet also, wenn wir jetzt den Wert dieses Terms ausrechnen wollten, zum Beispiel indem wir 1 Zahl für x einsetzen, dann würden wir ja erst mit der Klammer anfangen, würden die Zahl für x einsetzen, zu dieser Zahl 1 addieren und dann noch mal neu ansetzen, was für x einsetzen, also dieselbe Zahl wieder hier für dieses x einsetzen, dann e^ diese Zahl rechnen und dann würden wir dieses Ergebnis mit diesem Ergebnis multiplizieren. Das ist eine Punktrechnung. 1 Term ist ja genau dann ein Produkt, wenn die letzte Rechnung eine Punktrechnung ist, das ist hier der Fall und deshalb ist es 1 Produkt. Also brauchen wir wieder die Produktregel, das bedeutet: Wir brauchen u´, u ist bei uns hier dieser 1. Faktor, der ist ex. Damit ist die Ableitung auch ex× 2. Faktor, ×v(x), das ist bei uns die Klammer hier, in diesem Fall + die 1. Funktion, also der 1. Faktor ist hier u(x), also ex, in dem Fall das ist ja der 1., da ist ja der 1. Faktor, ex× Ableitung des 2. Faktors, also ×Ableitung von x+1. Die Ableitung von x+1ist einfach 1 und auch das kann man noch zu einem Produkt zusammenfassen, was insbesondere dann praktisch ist, wenn man zum Beispiel die 3. Ableitung braucht. Also haben wir hier f´´(x)=ex×(, also x+1) und also wenn ich jetzt das Distributivgesetz anwende, ich möchte ex ausklammern, dann habe ich hier einmal diesen 2. Faktor  in diesem Produkt, das ist ja x+1, das habe ich hier hingeschrieben und der andere Faktor ist 1, dann muss ich also noch +1 schreiben und auch das darf ich wieder noch weiter zusammenfassen, denn ((x+1)+1) ist natürlich x+2. Also kommt hier heraus ex ×(x+2). Das ist unsere 2. Ableitung, hier in voller Schönheit. Okay, das war es dazu. Viel Spaß, tschüss.

Informationen zum Video
Alle Videos & Übungen im Thema Exponential- und e-Funktionen ableiten »