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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^(-x)•x^(-1)

Hallo, eine Funktion zum Ableiten. Eine Übungsaufgabe zur Ableitung von e-Funktionen. Wir machen: f(x)=e^-x×x^-1. Da dürfen wir als erstes feststellen, dass es sich hierbei um ein Produkt handelt. Deshalb schreibe ich noch einmal kurz die Produktregel auf. Wir gehen also davon aus, dass wir einen Funktionsterm haben, der besteht aus dem Produkt zweier Funktionen, nämlich u von x und v von x. Das Wort x habe ich hier weggelassen. Wenn wir jetzt u×v ableiten wollen, hier ist der Ableitungsstrich, nicht wahr, dann ist das gleich u', also die Ableitung des ersten Faktors, ×v+u× Ableitung des zweiten Faktors, also ×v'. Das nur kurz also hier die Produktregel. Wie müssen uns überlegen, was haben wir denn hier vorliegen? Wir haben den einen Faktor der ist e^-x, den müssen wir als erstes also ableiten, um die Ableitungsfunktion f' zu bekommen. e^-x ist eine verkettete Funktion. Die innere Funktion ist -x, die äußere Funktion ist eExponenten. Wir müssen bilden die Ableitung der inneren Funktion und × Ableitung der äußeren Funktion. Da die innere Funktion also -x ist, ist die Ableitung der inneren Funktion -1. eExponent als äußere Funktion hier, bleibt beim Ableiten, wie sie ist. Sie wird nicht verändert. Das heißt ich darf einfach wieder e^-x hinschreiben. Dann kommt +, das schreibe ich ab aus der Formel, +e^-x, das kann ich auch abschreiben. Ach so ein Mist. Ich habe das v vergessen. Hier kommt ja noch das v hin. Also das v=x^-1, so jetzt aber u abschreiben, also e^-1×Ableitung von x^-1. x^-1 kann man ableiten mit der Potenzregel. Ja, wir haben ja xn abzuleiten und das ist: n×xn-1. n ist bei uns -1 und deshalb kann ich hier schon hinschreiben: n, also -1, ×x^-2. Oh das ist aber knapp geworden hier mit der 2. Ja, aber du kannst es noch erkennen. Es kommt ja sowieso gleich noch mal, weil ich es noch ein bisschen ändern muss. Denn so lässt man das ja nicht stehen. Zunächst mal haben wir hier: f'(x): -1×e^-x×x^-1+e^-x×(-1)x^-2. So die 1 vor dem x kann ich weglassen. Ja viel ändert sich da nicht. Ich kann einfach das Minuszeichen hinschreiben. Und hier haben wir - ach das mache ich jetzt einfach mal. Das sind zwar jetzt ein bisschen viele Zwischenschritte, aber macht nichts. Ich schreibe es einfach hin. Also: -e^-x×x^-1- so und was ist hier jetzt mit dem + und da ha ich das -1 weglassen und da ein - hin schreiben - und das ist dann: -e^-x×x^-2. So da steht es jetzt etwas schöner. Und jetzt gilt wieder: wenn wir die 2. Ableitung machen wollen, ist es ganz praktisch, wenn man hier etwas ausklammert, wenn man hier also das Distributivgesetz verwendet und dann nur ein einziges Produkt hat. Wenn man das dann nämlich nicht tut, hat man hier eine Summe vorliegen, man müsste also diese Summe nach der Summenregel ableiten. Das heißt also diesen Summanden ableiten und diesen Summanden auch. Dieser Summand ist seinerseits wieder ein Produkt, das heißt, wir müssten hierauf die Produktregel anwenden. Dieser Summand ist auch ein Produkt, wir müssten dann zum zweiten Mal die Produktregel anwenden. Das führt dann zu vier Summanden. Wenn man das ein bisschen vermeiden möchte, dann kann man hier gucken, dass man das wieder in ein einziges Produkt umformt. Ich hab letztens schon was zum Ausklammern gesagt, im letzten Film, ich schreibe aber das Distributivgesetz noch mal hin, weil ich weiß, dass das traditionell immer vergessen wird. Warum auch immer. Weil ganz so kompliziert sieht es ja nicht aus, aber es wird von vielen Schülern gehasst. Also ganz besonders gehasst, nicht nur wie sonstige Formel gehasst werden. a×b+a×c=a(b+c). Das ist das Destributivgesetz, das können wir hier anwenden. Wir können und erst überlegen, was ist denn unser a, dass sit der Faktor, der in diesem Summand und in diesem Summand auftritt, also -e^-x. Das heißt, ich darf das hier schon mal hinschreiben, also: -e^-x. Das b ist der Rest in diesem Summanden hier, also x^-1. Das b kommt dann also da in die Klammer, dann haben wir x^-1 hier stehen. hier: Und wenn wir hier -e^-x ausgeklammert haben, dann steht da noch das c, das ist hier auch der 2. Faktor in diesem Summanden und der ist x^-2. Das heißt: -e^-x (x^-1+x^-2) kommt da hin. Ja lass dich nicht irritieren, wenn hier ich hier diesen Faktor nehme und der ist e^-x. Dann könnte ich den einklammern und hier noch ein +-Zeichen davor schreiben. Dieses +, was ich jetzt davor schreiben könnte, ist dieses + und deshalb muss hier auch wieder ein +-Zeichen hin. So das ist jetzt hier also unsere erste Ableitung. Das ist nur der Einschub. Und dann kommen wir jetzt zur zweiten Ableitung. Das mache ich ein kleines bisschen kürzer. Wir haben ein Produkt vorliegen, wir können die Produktregel anwenden. Der erste Faktor ist -e^-x. -e^-x können wir ableiten . Dazu brauchen wir hier nach der Produktregel erst mal die Ableitung des 1. Faktors. -e^-x setzt sich zusammen aus einem Faktor, der hier steht, nämlich das ist -1, denn statt - kann man ja auch -1×e^-x hinschreiben. Also darf ich -1 hier als erstes mal hinschreiben. Dann × die Ableitung von e^-x, das haben wir schon geklärt, was das ist. Das ist nämlich: (-1)×e^-x. Ja, das stand hier. × - v kommt jetzt, ja wir haben u' fertig gemacht, jetzt kommt noch ×v. v ist bei uns dieser 2. Faktor, ja wir können auch ein Muliplikationszeichen hinschreiben. Dieser 2. Faktor, also einfach die Klammer, die schriebe ich jetzt hier einfach stumpf ab: (x^-1+x^-2). Dann brauche ich eine neue Zeile: + - so gehts ja weiter in der Produktregel + u×v' kommt jetzt. Das u ist unser erster Faktor also hier -e^-x - das heißt ich kann das +-Zeichen wieder wegnehmen - und einfach -e^-x hinschreiben. × ', also × die Ableitung dieses 2. Faktors, Ableitung der Klammer ist das. Das heißt also ich muss jetzt x^-1 und x^-2 getrennt voneinander ableiten und dann die beiden Ergebnisse summieren. x^-1 abgeleitet ergibt, das haben wir schon gerade gehabt, -x^-2. x^-2 abgeleitet ergibt: -2×x^-3. Beides nach Potenzregel, das schriebe ich jetzt nicht noch alles extra auf. Hast du vermutlich im Kopf. So und jetzt kann ich wieder das Distributivgesetz anwenden. Nämlich auf diesen Term hier: -1×(-1)×e^-x×(x1+x^-2)-e^-x×(-x^-2-2x^-3). Und da ist die Frage, was möchte ich denn alles gerne ausklammern. Und ich möchte e^-x ausklammern, und zwar +e^-x. Warum? Weil ich ja hier feststelle: -1×-1=+1. So damit wir das schon Mal klar sehen. Das heißt, ich habe hier den Faktor e^-x schon mal alleine stehen. Und dann kann ich aus dieser Klammer hier das - Zeichen ausklammern, indem ich -1 davor schreibe. -1×+ das und + das, also: e^-x×(x1+x^-2)-e^-x×(+x^-2+2x^-3). Jetzt steht hier noch eine -1×- dieses hier, ergibt +, also: e^-x×(x1+x^-2)+e^-x×(+x^-2+2x^-3). Man hätte  auch einfach sagen - na ist egal - du weißt, was ich meine. Das mit den + und - Zeichen hast du ja schon lange geübt. Ich denke das sollte kein Problem mehr sein. So und jetzt kann ich also e^-x ausklammern. Und dann ist die Frage: wenn ich dieses Distributivgesetz verwenden möchte, was ist dann b. b ist der 2. Faktor im 1. Summanden. b ist also hier diese Klammer. Dann schreibe ich jetzt auch einfach mal stumpf diese Klammer ab. Dann brauche ich diese 2. Klammer hier noch, wenn ich das abschreibe. e^-x ((x^-1+x^-2)+ - wa sist das c? Das ist dieser 2. Faktor. Ja die Klammern sind ja jetzt doch ziemlich überflüssig, naja ich mach so jetzt einfach mal, um zu dokumentieren, dass ich das jetzt ohne Denken abschreibe - das geht in dem Fall, also e^-x ((x^-1+x^-2)+(x^-2+2e^-x ((x^-1+x^-2)+x^-3)). Zwei Klammern müssen jetzt zugehen. Und das kann man so natürlich nicht stehen lassen. Denn ich hab da zu viele Klammern geschrieben und so, das muss man noch ein bisschen schöner machen. Also wir haben =e^-x, das bleib wie es ist, (, so dann kann ich einfach die Klammer hier weglassen und die und die und die und dann habe ich hier: (x^-1, da kann man nicht viel mit machen, deshalb kommt das hier hin, (x^-1, so. Dann steht hier: +x^-2+x^-2 und das sind natürlich 2x^-2, das darf man dann zusammenfassen. Und 2x^-3 hist noch da, also + 2x^-3. und dann steht hier die 2. Ableitung in voller Schönheit: e^-x (x^-1+2x^-2+2x-3). So sollte sie dann auch in deinem Heft stehen, oder wo immer du das hinschreibst. Joa, das war es dazu. Viel Spaß, tschüs.    

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