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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=-e^x+x

Hallo. Wir machen weiter Ableitungen von e-Funktionen. Und hier ist eine weitere Aufgabe. Wir haben f(x)=-ex+x. So, wenn man das jetzt ableiten möchte, muss man sich überlegen, dieser Term hier, dieser Funktionsterm, ist das eine Summe oder ist das ein Produkt? Und stellt fest. Aha, es ist eine Summe. Deshalb muss man hier die Summenregel verwenden. Dann muss man sich überlegen, wie kann ich jetzt -ex ableiten. Und da kann man diese Funktion etwas umschreiben. -ex=-1×ex. Das schreibe ich deshalb so auf, weil man auf -1×ex die Faktorregel anwenden kann. Da ist es also wichtig, dass du hier die Regeln direkt im Kopf hast und siehst, das du das so umformen musst, um dann hinterher eine Regel anwenden zu können. Bei x ist es genauso. Vielleicht hast du auswendig gelernt, was die Ableitung von x ist. Kann sein. Du kannst aber auch die Potenzregel verwenden, wenn du x als x1 schreibst. Gut. Wie gehts dann weiter? Ich möchte eben die Faktorregel aufschreiben. Damit du auch alles hier beisammenhast. Also die Faktorregel besagt, wenn wir eine Funktion haben, die folgende Form hat. Wir haben einen konstanten Faktor. Der jetzt mal k heißen soll. Und der wird multipliziert mit einer Funktion g von x. g(x) ist dabei völlig egal. Das kann einfach irgendeine Funktion sein. Nur es ist wichtig, das da vorne einfach eine Zahl steht. Einfach ein Faktor. Dann ist f'(x)=k×g'(x). Das ist die Faktorregel. Man kann auch sagen das k ein Faktor, bleibt einfach stehen beim Ableiten. Gut. Dann möchte ich ableiten. f'(x)=. Dieser Faktor -1 bleibt einfach stehen. Die Ableitung von ex=ex. Also steht da -1×ex. Dann muss man noch den anderen Summanden ableiten. Ja laut Summenregel können wir ja beide Summanden getrennt ableiten. Die Ableitung von x1 weißt du vielleicht auswendig. Ich zeig trotzdem eben die Regel, die man darauf anwenden sollte. Also ich verweis deshalb so auf das auswendig lernen, weil die Anwendung der Regel hier viel komplizierter ist, als die Ableitung dann selber. Aber ist egal, muss man ja alles mal gemacht haben. Wenn wir eine Funktion haben, die folgendermaßen aussieht. Wir haben also ein f(x). Ja das sind jetzt hier andere. Ich benutze mal f(x) als Bezeichnung für eine Funktion. Für einen Funktionsterm. Der Funktionsterm soll so aussehen. xn. n kann dabei irgendeine Zahl sein. Egal. Wirklich irgendeine. Diese Potenzregel gilt für alle Exponenten, die irgendwelche Zahlen sind. Steht manchmal in Büchern etwas anders drin. Da steht das n aus der Menge der ganzen Zahlen kommen soll, oder aus der Menge der natürlichen Zahlen. Das geht für diese Zahl natürlich auch. Aber es geht für alle Zahlen. Wenn der Funktionsterm, also xn ist, dann ist die Ableitung davon n×xn-1. Und wenn wir jetzt hier x1 vor uns haben, dann ist n=1. Und dann muss ich das halt nur abschreiben, was da steht in der Formel. Für n muss ich dann jeweils 1 einsetzen. Dann steht hier also 1×x1-1. Ja ich mach das ganz ausführlich. Ich habe schon mal erwähnt, wenn dir das zu ausführlich ist, du kannst auch im Film vorspringen. Kein Problem. Du kannst hinterher einfach nur mit der Lösung vergleichen. Wenn du das selber gerechnet hast. So sind die Filme aufgebaut, dass du nicht wirklich jedes Wort hier von mir verfolgen musst. Das hier lässt man so natürlich nicht stehen. Man schreibt auch nicht -1×ex. Sondern man schreibt einfach -ex. Das möchte ich hier jetzt hinschreiben. -ex+. Ja was erwartet uns da? Wir haben 1× irgendwas. Schreibt man so auch nicht. Die 1 lässt man weg und man schreibt nur das irgendwas hier hin. 1× irgendwas bleibt ja gleich. Deshalb schreibt man es nicht hin. x1-1 bedeutet x0. Denn 1-1=0. x0=1. Und zwar für alle x. Manche wundern sich darüber, warum das =1 ist. Viele meinen es müsste doch 0 sein. Da gehe ich jetzt hier nicht weiter darauf ein. Es gibt viele Gründe, warum man es so festgelegt hat. Das x0=1 ist für alle x. Sage ich jetzt aber in diesem Zusammenhang nicht, was diese Gründe sind. Das findest du an anderer Stelle. Da nun x0=1 ist, kann man hier auch einfach +1 schreiben. So. Und das ist jetzt die Ableitung unserer Funktion hier. Und die möchte ich gleich noch mal ableiten. Weils so schön war. Also die zweite Ableitung machen. Hier schön zum Pauken. Also wir haben gerade schon geklärt, was die Ableitung von -ex ist. Ja das haben wir schon gemacht. Darauf berufe ich mich jetzt einfach. Ich möchte hier wieder Summandenweise ableiten. Der erste Summand ist -ex. Also kann ich dann wieder als Ableitung von -ex, -ex hinschreiben. Denn wir haben ja hier gesehen, das die Ableitung dann auch gleich bleibt. Also gleich der Ausgangsfunktion ist. Die Ableitung von +1 muss hier noch hin. +1 ist eine Konstante. Eine konstante Funktion verläuft so. Die Steigung ist überall 0. Deshalb könnte ich hier noch +0 hinschreiben. Mache ich aber nicht. Weil ja das +0 rechnen, das Ergebnis nicht verändert. Deshalb lässt man das weg. Und so haben wir dann die 2te Ableitung dieser Funktion hier. Und die ist einfach -ex. Ja viele Wörter, aber wie gesagt du kannst ja auch Erklärungen überspringen. Aber das ist die ganz ausführliche Erklärung dazu. Tschüs bis zur nächsten Ableitung. Viel Spaß.

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