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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=2e^(-½x)/(x-2) (Teil 1)

Hallo! Eine Übungsaufgabe zu den Ableitungen von e-Funktionen, wir haben: f(x)=2×(e-½x/(x-2)). Das könnte man nun mit der Quotientenregel ableiten, möchte ich aber jetzt nicht machen, sondern ich möchte die Produktregel verwenden, und das geht, indem man einfach den Nenner ^-1 dahin schreibt und das ist ja das Gleiche wie teilen. Hier habe ich jetzt ein Produkt und kann dann also die Produktregel anwenden. Dann ist schon die erste Tafel gleich wieder voll. Wir kommen zur ersten Ableitung: f'(x). Das erste Produkt ist 2×e-½x und dann kann ich erst mal die Faktorregel anwenden, d.h. dieser Faktor hier bleibt einfach stehen, wie er ist. Dann muss ich e-½x ableiten, es gibt hier eine innere Funktion, die ist -½x. Die Ableitung dieser inneren Funktion ist -½. Dann muss ich die Ableitung der äußeren Funktion hinschreiben,  die ist e-½x. Das habe ich schon öfter gezeigt, das mache ich jetzt hier nicht in allen Einzelheiten. Du wirst festgestellt haben, dass es sich hierbei um die Kettenregel handelt, die ich angewendet habe. Machen wir weiter mit der Produktregel hier, da muss ich den zweiten Faktor noch einfach hier hinschreiben, das ist also (x-2)1+ diesen ersten Faktor, den kann ich nach der Produktregel wieder einfach hinschreiben, also 2×e-½x×. Das ist wieder eine verkettete Funktion hier, die innere Funktion ist x-2, die Ableitung davon ist 1, da ich hinterher multiplizieren werde, brauche ich die 1 nicht hinschreiben, denn wenn man mit 1 multipliziert, ändert sich das Ergebnis nicht. Also kommen wir zur Ableitung der äußeren Funktion, das kann man nach der Potenzregel machen, -1×(x-2)^-2. Einfach stumpf die Potenzregel angewendet, dass was sonst in der Potenzregel x ist, ist hier jetzt x-2, dass was sonst das n ist, ist hier jetzt -1. Ich glaube das muss ich nicht weiter erläutern. Das ist jetzt die erste Ableitung, und die kann man noch ein bisschen zusammenfassen. Ich guck mal, ob es hier noch hinpasst. Ich möchte etwas ausklammern, und zwar 2, nein, das möchte ich eigentlich gar nicht ausklammern, hier ist ja gar keine 2 mehr. Wenn ich hier rechne, 2×-½, dann habe ich ja nur noch -1. Hier ist zwar eine 2, aber da kommt die 2 ja nicht in beiden Summanden vor. Ich möchte ausklammern, hier ist ja das Minuszeichen und bei -1, da auch. -e-½x, also, -e-½x soll vor die Klammer, das mache ich nach dem Distributivgesetz. Ich sage das noch mal gerne, weil grad dieses Distributivgesetz immer wieder vergessen wird. Warum weiß man nicht, das ist ein Mysterium des Universums. Hier ist dann noch ein Faktor übrig, nämlich (x-2)^-1 und hier ist eine 2 noch übrig, ich muss ein Pluszeichen setzen, denn dieses Minuszeichen steht ja hier schon vor der Klammer. Also steht dann hier noch eine 2 und (x-2)^-2. Dann geht diese Klammer noch zu, damit ist das hier ausgeklammert. Wenn man die zweite Ableitung machen möchte, ist es ja immer ganz praktisch, wenn man hier so ein Produkt stehen hat, dann kann man etwas besser ableiten. Wenn man zwei Summanden mit jeweils einem Produkt hat, dann muss man ja die Produktregel zweimal anwenden. Im nächsten Film zeige ich die zweite Ableitung davon. Hier ist erst mal Pause. Viel Spaß damit, tschüss!

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