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Transkript Erwartungswert – Faires Spiel (3)

Hallo. Hier ist also der nächste Teil der Betrachtungen dieses mehr oder weniger fairen Spiels. Ich habe hier im letzten Film gezeigt, wie man sich den Erwartungswert vorstellen kann. B1 steht für das Ergebnis blau, mit der Wahrscheinlichkeit 1/5. Hier sind 10 Glasnuggets drin, von 50 insgesamt. Und man gewinnt ja dann 2 €, deshalb hab ich jetzt dieses Ergebnis bei 2 aufgehangen und man verliert 1en € wenn das Ergebnis grün, nämlich hier e2 auftritt. Deshalb ist e2 hier bei -1. und man verliert 2 €, wenn das Ergebnis e3, was hier für rot steht, auftritt. Deshalb hängt das Ergebnis e3 hier bei -2. Und ich zeig's noch mal: Der Erwartungswert ist die Stelle, an die ich meinen Finger halten muss, damit dieses ganze hier im Gleichgewicht ist. Und es ist also, ja es ist kurz vor -1. Ich weiß gar nicht mehr, ob ich es im letzten Film richtig gesagt habe. Es ist -1 natürlich, nicht 1. Hier ist die 0, da ist -1.   Das bedeutet also, wenn man den Erwartungswert in der Häufigkeit der Interpretation sieht, dann müsste man auf Dauer bei diesem Spiel etwas verlieren. Und wie man das jetzt richtig ausrechnet, das möchte ich jetzt mal hier auf einer neuen Tafel zeigen.  Und zwar - den Erwartungswert rechnet man aus, indem man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse, hier z. B. für blau 1/5, mit den zugeordneten Zahlen multipliziert und diese Produkte dann alle addiert. Wir haben also hier die Wahrscheinlichkeit für grün, die schreibe ich hier hin mal die Zahl die zugeordnet wird. Multipliziert mit der Zahl, die zugeordnet wird, das ist also -1. Plus die Wahrscheinlichkeit für rot. Und die Zahl, die dem Ergebnis rot zugeordnet wird, ist -2. Und da hätte ich fast meinen Taschenrechner vergessen. Das ist ja die Rechnung dazu und den Taschenrechner brauchst Du ja nicht - weg damit ! Denn wir haben zunächst ja hier 2/5 stehen. 1/5 mal 2 sind ja 2/5. 2/5 mal -1 sind -2/5. 2/5 - 2/5 ist zusammen 0, das heißt, das Ganze kann ich schon mal weglassen. Dann stehen da noch 2/5 × - 2, das sind also -4/5. Wir schreiben's am besten so: -4/5 ist das Ergebnis, da kommt noch ein Gleichheitszeichen hin. Das bedeutet also: In dem Sinne ist dieses Spiel kein faires Spiel, denn der Erwartungswert, also der Erwartungswert deines Gewinns ist bei -4/5. Das heißt also im Schnitt würdest Du Geld verlieren und ich würde Geld gewinnen auf die Dauer, nicht wahr. Und inwieweit das fair ist oder nicht, da kann man sich auch noch drüber streiten. Also mathematisch fair ist das nicht, denn mathematisch fair bedeutet, dass bedeutet das der Erwartungswert bei 0 liegt. Also Du bekommst immer genau so viel Geld, wie ich. Also zumindest müsste sich das immer so ausgleichen. Und dann könnte man sich jetzt fragen: Wie hoch muss der Gewinn bei blau sein, der ja bei 4€ liegt? Also Du musst ja erst 2€ investieren und Du kriegst 4€ von mir zurück, wenn hier blau angezeigt wird durch das Glücksrad. Man könnte sich jetzt also fragen: Wie hoch müsste der Gewinn bei blau sein, damit das Spiel fair ist, das heißt also, damit bei dem Erwartungswert 0 rauskommt. Und das möchte ich im nächsten Teil zeigen. Bis dahin viel Spaß. Tschüss

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4 Kommentare
  1. Giuliano test

    Kein Problem.
    Hab ich gerne gemacht.
    Viel Erfolg noch beim Lernen.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Vielen Dank für die Antwort!
    Dann mache ich das mal: E(X): -1*7/10 + 1*2/10 + 4*1/10 = -1/10 = -0,1

    Alles klar - mein Fehler!

    Von Jan Michael Witt, vor fast 3 Jahren
  3. Giuliano test

    @Jan Michael Witt:
    Hier nochmal der Lösungsansatz:
    Aufstellen einer Wertetabelle mit X=Gewinn und P(X).
    Es gibt drei mögliche Ausgänge: Er bekommt nach dem Zug 0€, 2€ oder 5€.
    Der Einsatz ist allerdings 1 € für einen Zug.
    Um den Gewinn zu ermitteln, musst du nun das was er bekommt von dem was er eingesetzt hat abziehen.
    Diese Werte bilden dann die drei möglichen X1,X2 und X3.
    Jetzt gibts du darunter die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis an.
    Als Letztes berechnest du schließlich den Erwartungswert E(X) mit der Formel:
    E(X)=X1*P(X1)+X2*P(X2)+X3*P(X3) und dann erhälst du deine richtige Antwort.
    Wenn du nach dem Tipp noch keine richtige Lösung bekommen hast, kannst du dich gerne wieder melden.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    Die Antwort auf die Frage ist falsch - richtig ist: E(X) = 0

    Von Jan Michael Witt, vor fast 3 Jahren