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Transkript Ereignisse und Mengenverknüpfungen

Hallo, Wenn wir einen Zufallsversuch haben, dann haben wir auch eine Grundmenge. Wenn wir in der Grundmenge, Ω genannt, sind ja Ergebnisse drin - alle möglichen Ergebnisse sind da drin des Zufallsversuchs - und wenn wir Ergebnisse zusammenfassen erhalten wir Ereignisse. Wir können aus diesen Ereignissen erneut neue Ereignisse machen, indem wir nämlich diese Mengen miteinander verknüpfen. Und wie das geht, ist Thema dieses Films. Wir haben zunächst einmal einen Zufallsversuch. Hier sind Karten. Auf den Karten stehen die Zahlen 1 bis 20. Die kann ich jetzt mischen und dann eine Karte ziehen, und das ist dann unser Zufallsversuch. Da habe ich eine Karte gezogen, es ist die 1 - wie schön. Mal gucken, ob noch die 2 kommt, es ist die 3. Na gut. Unsere Grundmenge ist Ω, das sind die Zahlen von 1 bis 20. Und jetzt können wir irgendwelche Mengen bilden, Mengen von Ergebnissen, und das sind dann unsere Ereignisse E1, E2, E3. E1 enthält die Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., 19. Diese Punkte deuten das „und so weiter“ an. Das ist eine durchaus gängige Schreibweise, damit man nicht alle Zahlen Hinschreiben muss. So etwas verwendet man nur dann wenn hier aus den ersten Zahlen klar wird, wie es weitergeht. Das soll kein Ratespiel sein. Mengen sind dann immer eindeutig bezeichnet. Also E1, so kann man sagen, besteht aus allen ungeraden Zahlen von 1 bis 20. E2, da habe ich jetzt alle hingeschrieben, das sind alle Primzahlen von 1 bis 20. Auch 2 ist eine Primzahl, ich sage es gerne noch mal: 2 ist die einzige gerade Primzahl, sie ist schließlich nur durch 1 und sich selber teilbar. So sind ja Primzahlen definiert, und so gehört die Zahl dazu. Menge 3 ist auch noch da, einfach die Zahlen 5, 10 und 15. Das sind nicht alle durch 5 teilbaren Zahlen von 5 bis 20, sonst müsste die 20 ja auch dabei sein, ist sie aber nicht. Habe ich einfach so gemacht - warum auch immer, keine Ahnung. Man darf aber auch irgendwelche Ergebnisse zu Ereignissen zusammenfassen. Jetzt können wir also mit diesen Ereignissen arbeiten und z. B. können wir die Vereinigungsmenge von E2 und E3 bilden. Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in E2 oder in E3 sind. Auch wenn ein Element in beiden Mengen drin ist, also in E2 und E3, gehört es zu der Vereinigung dieser Menge. Und das habe ich hier auch aufgeschrieben. E1UE2= ist - naja - das sind alle Primzahlen und es sind auch die Zahlen 10 und 15. Da sind sie. Die kamen aus der 3 hinzu, die anderen Primzahlen waren schon in 2 und die 5 kommt in beiden Mengen vor, damit kommt sie auch in der Vereinigung dieser beiden Mengen vor. Also alle Elemente, die in der einen Menge oder in der anderen, oder auch in beiden Mengen drin sind, die gehören zur Vereinigung. Auf den Zufallsversuch übertragen muss man sich jetzt überlegen, was bedeutet das? Wann tritt dieses Ereignis E2UE3 ein? Manchmal hat man das Gefühl, da müssten jetzt alle Zahlen auftreten, dann würde das Ereignis eintreten. Nein, das ist nicht so. Ich mach das eben vor. Also hier ist nun der Zufallsversuch. Ich ziehe eine Karte, das ist die 2, die einzige gerade Primzahl, und diese 2, wie wir hier sehen, kommt in der Vereinigung von E2 und E3 vor. Damit ist dieses Ereignis eingetreten. Es ist also jetzt gerade das Ereignis E2UE3 eingetreten. Es müssen also nicht alle Zahlen gezogen werden, die in dieser Menge sind - oder so was Ähnliches. Also ich versuche das noch einmal, wenn ich hier mit dem Mischen klarkomme. Ich nehme wieder eine Zahl, das ist die 20, und die 20 kommt, wie wir hier sehen, in E2UE3 nicht vor, damit ist jetzt dieses Ereignis nicht eingetreten. Das also nur zur Veranschaulichung, was damit gemeint ist. Dann gibt es eine weitere Mengenoperation, nämlich die Durchschnittsmenge, Mengenoperation sagt man oder auch Verknüpfungen sagt man, von Mengen, oder wie das auch immer gesagt werden soll. Ich möchte hier einmal zeigen die menge E1∩E2. Die besteht aus den zahlen 5 und 15. In der Menge E1 sind ja alle ungeraden Zahlen von 1 bis 20, in der Menge E3 sind die Zahlen, die durch 5 teilbar sind und < als 20 sind. Also die Zahlen 5, 10 und 15. Die 10 ist keine gerade Zahl, deshalb ist sie hier also in dem Durchschnitt ausgeschlossen, denn es dürfen in dem Durchschnitt dieser beiden Mengen nur die Elemente, die in beiden Mengen vorkommen. Und das sind halt nur 5 und 15. Auch hier gilt, dieses Ereignis tritt ein, wenn eine 5 oder eine 15 gezogen wird, das wird jetzt vermutlich nicht der Fall sein, weil diese Menge so wenig Elemente enthält. Und? Es ist die 10. Es ist genau dieses Element, was zwar in E3 ist, aber nicht in E1 vorkommt und deshalb ausgeschlossen ist - damit ist das jetzt nicht eingetreten. Also das Ereignis E1∩E3 ist nicht eingetreten. Ich versuche es gleich noch mal - vielleicht kommt wieder irgendetwas Lustiges. Das ist jetzt die 1, die hatten wir schon. Jetzt ist das Ereignis auch nicht eingetreten und damit möchte ich das jetzt hier belassen bei diesem Durchschnitt. Es kommt das Komplement. Das Komplement von E1 beispielsweise, das besteht aus allen Elementen, die nicht in E1 sind. Da E1 aus allen ungeraden Zahlen von 1-20 besteht, besteht das Komplement von E1 aus allen geraden Zahlen von 1-20. Man sagt dazu auch Non-E1 oder E1quer und da gibt es auch noch zehn andere Sprechweisen dazu. Irgendwie wird man das schon sagen, wenn du das an der Schule oder Uni hast, dann kannst du dich dieser Sprechweise ja anpassen. Das ist ja eigentlich egal. Alle Elemente, die nicht in E1 sind, und natürlich in der Grundmenge sind, das bezieht sich immer auf die Grundmenge, d. h. also alle Elemente, die in Ω sind, aber nicht in E1 sind, die sind im Komplement von E1, und deshalb sieht die Menge dann so aus, es sind also die geraden Zahlen von 1-20. Auch das kann ich noch mal eben ausprobieren. Der Vollständigkeit halber, tritt dieses Ereignis nun ein, oder tritt es nicht ein, das ist hier die Frage, und ich habe die 20 schon wieder gezogen. Sind hier noch andere Zahlen drin eigentlich? Ja, es sind andere Zahlen da. Die 20 gehört zu E1Komplement, damit ist E1Komplement gerade eingetreten. Ich versuche es noch mal, jetzt ist es die 2 - jetzt ist es schon wieder eingetreten. Jetzt kann man noch die Differenz zweier Mengen bilden, man sagt hier E2\E3 oder man kann auch sagen E2-E3.Das sind alle Elemente in diesem Fall hier von E2, die aber nicht in E3 vorkommen.  Das zeige ich auch gleich einmal. Hier steht die Menge. E2 besteht aus allen Primzahlen von 1-20 und ausgenommen sind aber alle Elemente die in E3 vorkommen. In E3 kommen die Elemente  5, 10 und 15 vor. 10 und 15 sind sowieso keine Primzahlen. Damit kommen sie nicht in E2 vor und haben jetzt hier sowieso keine Bedeutung, aber die Zahl 5 kommt in E3 vor, und da wir jetzt nur die Elemente haben, wollen die in E2 nicht aber in E3 vorkommen, ist die 5 hier in dieser Aufzählung nicht mehr dabei. Dann gilt es, da wir uns jetzt mit Wahrscheinlichkeiten beschäftigen, noch eine Menge gesondert zu betrachten - und zwar ist das, das Sichere Ereignis. Dieses Sichere Ereignis besteht aus allen Elementen die in Ω sind. Man kann sich hier natürlich fragen, warum macht man so was? Was soll das heißen Sicheres Ereignis? Wenn ich jetzt hier eine Karte ziehe und ich habe das Ereignis gebildet  - die Zahlen von 1-20 - dann kann ich sicher sein, dass das eintritt. Jetzt tritt das Ereignis ein. Ich brauche die Karte nicht angucken, ich weiß, dass es eine zahl zwischen 1-20 ist, weil ich die vorher darauf geschrieben habe. Also dieses Ereignis ist eingetreten, es tritt jetzt auch wieder ein. Ich gucke jetzt auch nicht hin, aber es ist jetzt eingetreten. Warum macht man so was? Wenn man Mengenoperationen, Mengenverknüpfungen macht, kann es also vorkommen, dass irgendwann auch da die gesamte Menge Ω rauskommt. Wenn man das ausschließen wollte vorher, dann müsste man sehr viel herum definieren und bevor man irgendwelche Mengenoperationen macht sicherstellen, dass Ω nicht auftauchen kann, also dass die Grundmenge nicht gemeint sein kann. Das wäre viel zu aufwendig, man lässt sie einfach drin. Das ist nur einer von vielen Gründen, warum es diese Grundmenge auch in diesem Mengensystem gibt hier - warum wir die hier zulassen. Aber das ist eben auch ein Grund. Hier sieht man, wie man auf so eine Grundmenge kommt.  Wenn man z.B. E1UE1quer rechnet oder E1UEnonE1, dann hat man ganz Ω, dann ist das die Grundmenge. Wenn man die jetzt also hier zulässt, und die mitbetrachtet, dann braucht man das vorher auch nicht ausschließen, was dann eben viel, viel komplizierter wäre, als sie einfach zuzulassen. Wie kann man das verstehen? E1UE1quer, warum ist das Ω? Warum sind das alle Elemente? Wenn wir eine Grundmenge haben Ω und eine Menge bilden von Ergebnissen in dieser Grundmenge, dann ist immer von jedem Element klar, ob es zu dieser Menge gehört oder ob es nicht zu dieser Menge gehört. Das heißt, diese gesamte Grundmenge zerfällt also dann in 2 Mengen, dass ist wie bei der Kehrseite der Medaille, wenn man eine Menge bildet, dann bildet man auch gleichzeitig eine andere Menge, nämlich man bildet die eine Menge und gleichzeitig die Menge der Elemente, die nicht zu dieser Menge gehören. Und das sind zusammen immer alle Elemente, weil eben von jedem Element klar ist, ob es zu einer Menge gehört oder nicht. Dann gibt es das Unmögliche Ereignis. Das kann nicht auftreten und das kann ich vormachen, dieses Unmögliche Ereignis. Das Unmögliche Ereignis beinhaltet die {}, und die beinhaltet Nichts. Wenn ich jetzt eine Karte ziehe, ist dieses Ereignis nicht eingetreten, denn hier ist ja eine Karte und es ist nicht „keine Karte“. Und deshalb kann dieses unmögliche Ereignis auch niemals auftreten, denn immer wenn ich einen Karte ziehe, habe ich ja eine Karte gezogen. Das kann nicht sein, dass die jetzt z.B. keine Nummer enthält, weil nämlich alle Karten, die ich hier habe, Nummern enthalten. Dieses Unmögliche Ereignis wird aus ähnlichen Gründen zugelassen, weil man eben durch Mengenoperationen darauf kommen kann. Und hier ist so eine Mengenoperation, denn wenn man den Durchschnitt bildet von allen Elementen die in E1 und allen, die in E1quer sind, dann ist dieser Durchschnitt auf jeden Fall leer, denn es gibt kein einziges Element, das gleichzeitig zu E gehört und auch zu nicht E gehört. Das liegt in der Logik der Sache. Damit haben wir eine Mengenverknüpfung, bei der immer die {} herauskommt. Und deshalb ist es auch nützlich diese {} hier auch im Programm  zu haben. Es gibt viele Gesetze über Mengenverknüpfungen. Z. B. gibt es hier so ein Kommutativgesetz: AUB=BUA Ich habe hier einfach irgendwelche Mengen A und B genommen. Es gilt für alle Mengen. Deshalb ist es völlig egal, ob das hier jetzt Ergebnismengen, oder Ereignisse sind - was ja das Gleiche ist übrigens. Alles egal, es gilt allgemein. Dieses Kommutativgesetz gilt auch für den Durchschnitt von Mengen. Dann haben wir hier so ein Assoziativgesetz, also wenn wir erst (A∩B) und das mit C schneiden, dann erhalten wir die gleichen Elemente, wie wenn wir erst (B∩C) bilden und diesen Durchschnitt dann noch einmal mit A schneiden. Das gilt auch für die U - habe ich hier jetzt nicht hingeschrieben. Es gibt unendlich komplizierte Mengenverknüpfungen und Gesetze -  hier wird es ein kleines bisschen komplizierter. Wir bilden erst den Durchschnitt von A und B und interessieren uns dann für alle Elemente, die nicht in A und B drin sind, also die nicht im Durchschnitt drin sind. Man sagt A∩Bquer oder Non(A∩B). Das ist das Gleiche wie AquerUBquer oder NichtAUNichtB. Ja, das kann man sich auch an Venn Diagrammen deutlich machen - oder wie auch immer man sich das deutlich machen möchte. Venn Diagramme zeige ich jetzt hier nicht. Ich möchte da jetzt nicht so tief einsteigen.   Für den Moment hier soll es erst einmal reichen, dass du weißt, was Mengenverknüpfungen sind, dass du ein bisschen in Mengenverknüpfungen denken kannst. Wenn wir  Ereignisse betrachten wollen, wenn wir Ereignisse verknüpfen und denen Wahrscheinlichkeiten zuordnen wollen, dann  müssen wir erst einmal wissen, wie verknüpft  man Ereignisse, wie verknüpft man Mengen? Das habe ich hier jetzt gesagt und damit soll es an dieser Stelle gut sein. Viel Spaß damit, tschüss!

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