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Transkript Einsetzungsverfahren – Beispiele

Hi, in diesem Video stelle ich Euch das Einsetzungsverfahren vor. Wenn wir ein Gleichungssystem mit sagen wir mal, zwei Gleichungen haben, dann stellen wir eine der beiden Gleichungen so um, dass wir eine unbekannte x oder y, in unserem Beispiel, ganz alleine stehen haben. Wenn wir jetzt also in unserer 1. Gleichung y links stehen haben, dann setzen wir das, was wir rechts stehen haben für y in die 2. Gleichung ein. Dann berechnen wir dadurch die 1. Unbekannte und diese setzen wir wieder in die 1. Gleichung ein, um unsere 2. Unbekannte zu bestimmen. Und zur Kontrolle können wir noch mal alles komplett einsetzen. Na gut, üben wir das Ganze mal! Dann kommen wir auch gleich zur ersten Aufgabe. Wir haben hier 2 Gleichungen und wollen jetzt eine der beiden so umstellen, dass wir eine Unbekannte x oder y ganz alleine auf einer Seite stehen haben. Da bietet sich die 1. Gleichung für an: y=11-3x Denn, wenn wir 3x rüber holen, also -3x rechnen, dann haben wir y alleine. Jetzt setzen wir diesen Teil hier für y in die 2. Gleichung ein. Also, das y kommt hier heraus und der Ausdruck herein: 14x-4×(11-3x)=8 Beim Einsetzen ist es jetzt sehr wichtig auf die Klammern zu achten, die müssen da nämlich auch hin. So, dann multiplizieren wir die Klammern direkt aus: 14x-(44-12x)=8 Da wir hier ein Minus haben, schreib ich das noch mal in Klammern hin, denn durch dieses Minus ändert sich das Vorzeichen. 14x-44+12x=8 Denn Minus × Minus ergibt Plus. Dann noch ein bisschen zusammenfassen: 26x-44=8/+44 44 stört uns noch. 26x=52/26 Und das war es auch schon: x=2. Diesen Wert setzen wir jetzt in die 1. Gleichung ein oder wir machen es gleich hier unten. Und hier haben wir y so schön alleine stehen. x=11-32 y=11-6 y=5 Das war es dann auch schon. Wir haben also x=2 und y=5. Zur Probe können wir das Ganze nochmal einsetzen. Machen wir es gleich noch mal in die 2. Also, anstatt x haben wir 2 und statt y, 5. 14×2-4×5=8 14×2=28-20=8 Probe durchgeführt, also sind wir fertig. Kommen wir auch gleich zur nächsten Aufgabe. Wir haben hier wieder 2 Gleichungen und wollen das Ganze durch das Einsetzungsverfahren lösen. Dafür würde ich sagen, nehmen wir diese Gleichung und stellen sie direkt nach x um, das schaffen wir nämlich in einem Schritt. x-y=1/+y x=1+y Für x erhalten wir also 1+y und diesen Ausdruck setzen wir für x in unsere 1. Gleichung ein. 4x-2y=12 Wir schmeißen das x also heraus und schreiben das dafür hin, aber die Klammer nicht vergessen. 4(1+y)-2y=12 So, die Klammer lösen wir dann noch auf. 4+4y-2y=12 Können wir auch direkt ein wenig vereinfachen: 4y-2y=2y-4 und wenn 2y=8 ist, dann ist 1y=4. Eine Unbekannte hätten wir, die 2. fehlt uns noch und um die zu ermitteln, setzen wir 4 für y in unsere 2. Gleichung ein. Wir können die hier oder die nehmen, ist ja die Gleiche, nur ein bisschen umgeformt. Aber ich denke, wir nehmen lieber  die direkt, weil hier das x so schön steht. x=1+4 x=5 Und das war es dann auch schon. Wir erhalten für x=5. Zur Kontrolle können wir beides noch mal in die 1. Gleichung einsetzen, also wir führen die Probe durch: 4×5-2×4=12 und 20-8=12 Richtig also. Damit wären wir fertig.   Eine Aufgabe machen wir noch. Übrigens, es lässt sich nicht jedes lineare Gleichungssystem lösen. Gehen wir mal davon aus, dass das hier klappt, und probieren das Ganze mal. Stellen wir diese Gleichung mal nach x um. 12y+4x=20/-12y 4x=20-12y/4 So, y haben wir rüber gebracht und jetzt teilen wir noch durch 4. x=5-3y und diesen Ausdruck setzen wir jetzt in die 1. Gleichung ein. 18y+6×(6-3y)=24 (Klammer ausmultiplizieren) 18y+30-18y=24 18y-18y=0y, hier bleiben also 30 und hier 24. Und 30 ist nicht = 24, das heißt, wir haben eine falsche Aussage. Wenn wir mal genau hinsehen, können wir schon ein bisschen erahnen, dass das hier nicht mit rechten Dingen zugeht. 18y+6x=24/6 12y+4x=20/4 Wenn wir diese Gleichung durch 4 und diese durch 6 teilen, dann haben wir es ja schon. 3y+x=4 3y+x=5 Dann hab ich hier links den gleichen Ausdruck, rechts aber nicht. Und 3y+x kann nicht gleichzeitig 4 und 5 ergeben. Das war es dann auch schon. Bis zum nächsten mal, tschau.

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7 Kommentare
  1. Default

    Sehr cool! Jetzt hab ichs endlich kapiert, toll erklärt!!

    Von Joneremy, vor etwa einem Monat
  2. Felix

    @Witt Bochenek: Du kannst dir aussuchen, ob du nach x oder y auflöst. Wichtig ist nur, dass du die Gleichungen nach der gleichen Variablen umstellst. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin Buettner, vor 6 Monaten
  3. Default

    woher soll man wissen ob man auf x oder y auflöst

    Von Witt Bochenek, vor 6 Monaten
  4. Dj wallpaper

    Ich hab mir jetzt echt schon viele Videos dazu angesehen und muss sagen, dass ist das erste bei dem ich es verstanden habe. Danke

    Von Nicolas B., vor 6 Monaten
  5. Default

    Wo gibt es Übungen dazu ?

    Von Www Nadina33, vor etwa 2 Jahren
  1. Giuliano test

    @Norbert Fiala:
    Das weiß man nicht. Man kann die beiden Gleichungen nach x oder y umstellen. Das Ergebnis bleibt dasselbe. Manchmal kann man bei den Gleichungen sehen, ob sie einfacher nach x oder y aufgelöst werden können. Hierzu ein Beispiel:

    I x + 3/4 y = 8
    II 8,6 x + 3,4 y = 12

    Bei der ersten Gleichung bietet es sich an nach x aufzulösen, da man bei einer Umstellung nach y noch durch 3/4 teilen muss.
    Bei der zweiten Gleichung ist daas egal, da man beim Umstellen beider Variablen durch einen Bruch teilen muss.
    Es gibt eine Vielzahl von Beispielen und Übungen dazu. Rechne welche von den Übungen aus und stelle sie jeweils einmal nach x und einmal nach y um und probiere es aus.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    woher weiß ich denn, dass ich nach y umstellen muss??

    Von Norbert Fiala, vor mehr als 2 Jahren
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