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Transkript Einfache Gleichungen – Beispiel (4)

Hallo! Um mit dieser Gleichungswaage das Lösen von Gleichungen zu üben, kannst du dir eine Gleichung konstruieren, so wie ich das jetzt mache. Für das x setze ich eine 1 ein und packe diese beiden hier in den positiven Bereich der Gleichungswaage. Hier ist ja der positive Bereich, ich hoffe du kannst das sehen. Hier an den äußeren Rändern ist der negative Bereich. Jetzt ist die Waage im Gleichgewicht. Hier ist ein Klotz und da ist auch ein Klotz, in dem x drin. Um die Gleichung jetzt etwas komplizierter zu machen, packe ich noch ein paar x'e dazu. Zum Beispiel könnte ich hier in den negativen Bereich und den positiven Bereich jeweils 1 x stellen, mit einer 1 darin. Das Gleichgewicht ändert sich dann nicht. Ich möchte einfach noch mal 2 x'e dazustellen, x'e sind ja genug da. Das reicht mir jetzt erst mal. Die Gleichung ist im Gleichgewicht, ich weiß schon, was ich einsetzen muss, damit die Gleichung richtig ist. Jetzt stelle ich die Gleichung fest, die x'e werden geleert - so, du auch. Und jetzt weiß ich nicht mehr, was ich für das x einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird. Ich mach also Äquivalenzumformungen. Dazu schreibe ich erst mal die Gleichung in formal auf. Also, hier steht ein -x, da ist es, dann kommt hier eine +1, und 2x kommen dazu, und das ganze soll jetzt sein: =2x. Da ist die Gleichung und ich kann die jetzt lösen, indem ich Äquivalenzumformungen mache. Hier könnte ich z.B. auf beiden Seiten 2x abziehen. Durch eine Äquivalenzumformung ändert sich ja nicht die Lösungslänge, d.h., das, was ich einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird, ändert sich nicht. Um diese Äquivalenzumformung zu zeigen, nehme ich diese beiden x weg. So, das war es mit den x'en. Ich erhalte eine neue Gleichung, die kann ich wieder hier abschreiben, also von meiner Gleichungswaage abschreiben. Auf der linken Seite steht ein -x, also ein x im negativen Bereich, dann steht da eine 1 und auf der rechten Seite steht, wie du siehst, nichts. Ja, wie sie sehen, sehen sie nichts. Also kommt hier eine dicke 0 hin. Wenn ich jetzt weiter wissen will: Was muss ich denn für das x einsetzen, damit die Gleichung richtig wird, müsste ich noch eine etwas einfachere Gleichung haben. Nämlich, ich möchte das x auf einer Seite haben und auf der anderen Seite soll eine Zahl stehen, das ist immer die Taktik dahinter. Dazu kann ich also auf beiden Seiten das x addieren, das schreibe ich hier hin, +x auf beiden Seiten. Und dann passiert Folgendes: x und x kommen auf beide Seiten in den positiven Bereich. Im negativen Bereich addieren sich die beiden x'e zu 0 und - oh Wunder - ich habe eine neue Gleichung, die heißt: 1=x. Ich weiß auch schon, was ich einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird, es ist die 1. Das mache ich jetzt auch. Dann werde ich die Äquivalenzumformungen wieder rückgängig machen, damit du sehen kannst, das funktioniert wirklich. Hier ist die Gleichung im Gleichgewicht. Was habe ich vorher gemacht? Ich habe auf beiden Seiten das x addiert, deshalb müsste ich jetzt auf beiden Seiten ein x abziehen. Dazu brauche ich 2 x'e, die ich abziehen kann. Da kommt jeweils ein Klotz hinein, das Gleichgewicht ändert sich nicht. Diese beiden x'e hier +x und -x addieren sich zu 0. Jetzt haben wir also die Gleichung, die wir in der Zeile hatten, nämlich -x+1=0. Dann habe ich hier auf beiden Seiten 2 x'e abgezogen, also muss ich jetzt auf beiden Seiten 2 x'e addieren. Dazu brauche ich 4 x'e im Ganzen, das kann ich schon. Hier kommen 2 dazu und da auch. Und das ist die Gleichung, wie wir sie vorher hatten. Wie du siehst, das Gleichgewicht hat sich jeweils nicht geändert, wenn man für x 1 einsetzt, für x=1 ist die Gleichung richtig. Die einfache Gleichung war für x=1 richtig, also wenn man für das x 1 einsetzt. Und diese komplizierte Gleichung ist auch richtig. Das ist die Logik der Äquivalentumformungen von der einfachen Gleichung auf die komplizierte schließen. Ich wünsche viel Spaß damit. Bis dann, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Default

    Vielen Dank, sehr gut erklärt :)

    Von Schulkind, vor 6 Monaten
  2. Default

    Danke hat geholfen

    Von Melwilke, vor mehr als einem Jahr