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Transkript Bestimmung von Extrema – Übung

Hi, in diesem Video üben wir das Bestimmen von Extrempunkten. Es wird viel gerechnet und wenig erklärt. Ihr solltet euch schon damit auskennen. Und schon geht's los. Unserer erste Funktion lautet x² + 3. Ich bilde immer zuerst die ersten beiden Ableitungen. Die Erste lautet 2x. So, wir beginnen mit der notwendigen Bedingung, also die erste Ableitung gleich Null setzen. Das bedeutet 2x = 0, und daraus folgt dann, dass x = 0 ist. Diese Funktion besitzt also eine Extremstelle. Die hinreichende Bedingung haben wir sehr schnell erfüllt, denn f"(x) ist ja gleich 2, egal was man für x einsetzt, also, auch wenn wir 0 für x einsetzen, und 2 > 0, somit haben wir einen Tiefpunkt.  Unser Tiefpunkt hat die x-Koordinate 0 und die y-Koordinate f(0). f(0) bestimmen wir, indem wir x = 0 in die Ursprungsfunktion einsetzen. Das ergibt gleich 3, und somit haben wir einen Tiefpunkt an der Stelle (0/3). Ok, kommen wir zur nächsten Aufgabe: f(x) = x² + x. Wenn ihr Lust habt, dann versucht doch mal selber, jetzt die Extrempunkte zu bestimmen. Dafür jetzt auf Pause klicken. Ok, kommen wir zur Lösung. Ich bilde jetzt die ersten beiden Ableitungen. An der zweiten Ableitung können wir jetzt übrigens direkt sehen, dass die hinreichende Bedingung immer erfüllt ist, weil f"(x) = 2 ist. 2 > 0, also kann es keine Hochpunkte in dieser Funktion geben. f"(x) hat nämlich keine Lösung die kleiner ist als 0, egal was wir für x einsetzen. So, erledigen wir dann mal die notwendige Bedingung. Wir setzen die erste Ableitung gleich Null, rechnen das Ganze aus und dann liegt unsere Extremstelle bei x = -½. Da wir keine Hochpunkte haben können, muss es sich also um einen Tiefpunkt handeln. Dieser Tiefpunkt hat die Koordinaten (-½ / f(-½)). f(-½) erhalten wir wenn wir -½ in die Ursprungsfunktion f(x) für x einsetzen. Dann noch schnell ausrechnen. Und somit hat unser Tiefpunkt die Koordinaten (-½ / -¼). So, dritte und letzte Aufgabe für dieses Video: f(x) = x³ - x². Also, wenn ihr wollt, versucht es selber, wenn nicht, mach ich das für euch. Gut, wir bilden wieder zuerst die ersten beiden Ableitungen. f'(x) = 3x² - 2x. Und die zweite Ableitung f"(x) = 6x - 2. Wir fangen wie immer mit der notwendigen Bedingung an. Also setzen wir die erste Ableitung gleich Null. Jetzt wird x ausgeklammert, und damit hat unsere Gleichung zwei Lösungen: Entweder ist x = 0 oder 0 = 3x - 2. Ich markiere das jetzt mal als x1 und x2, und dann müssen wir nur noch nach x2 auflösen. Jetzt brauchen wir noch die hinreichende Bedingung, also Stellen x1 und x2 in die zweite Ableitung einsetzen. F"(0) = -2, das ist kleiner als 0. Somit haben wir einen Hochpunkt bei x1. Dann  noch f"(x2) ausrechnen, also 2/3 einsetzen in die zweite Ableitung. Das ergibt = 2, ist größer als 0, und somit haben wir einen Tiefpunkt bei x2. Dann rechnen wir noch die jeweiligen y-Koordinaten aus, indem wir 0 und 2/3 in die Ursprungsfunktion einsetzen, und schon sind wir fertig. Jetzt noch das Ergebnis hinschreiben und das Ganze einrahmen.

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3 Kommentare
  1. Printimage

    Hallo Azra,

    ich nehme an deine Frage bezieht sich auf den Zeitpunkt 0:39.
    Zur Bestimmung der Extrempunkte setzt du die erste Ableitung
    f ' (x) = 0
    Da hier
    f(x)= x^2 +3
    f ' (x) = 2x
    setzten wir also 2x = 0

    In den hier gestellten Aufgaben bringt die PQ Formel einem nichts, dafür bräuchstest du eine Gleichung der Form

    0= x^2 + px + q

    Bei weiteren Fragen nenne bitte immer den Zeitpunkt im Video.

    Von Steph Richter, vor 12 Monaten
  2. Default

    warum ist 2x=0 ? In die pq-Formel eingesetzt ist ads doch mein p...?

    Von Azra, vor 12 Monaten
  3. Default

    5/5 aufgabe 3 war das wonach ich suchte, 'welche werte packe ich wohin' - danke!

    Von Deleted User 10224, vor mehr als 6 Jahren
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