Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Bestimmte Integrale und Flächeninhalte

Hallo, wir suchen die Fläche zwischen Graph und x-Achse der Funktion f(x)=x³+6x²+11x+6 und zwar in den Grenzen von -4 bis -0,5. Und das macht man ja, indem man den Hauptsatz verwendet, bestimmte Integrale bildet. Und zwar immer von der linken Integrationsgrenze bis zu der nächsten 0-Stelle als erstes, dann von dort bis zur nächsten 0-Stelle. Das sind dann die nächsten beiden Integrationsgrenzen. So lange, bis man eben die rechte Integrationsgrenze, hier also -0,5, erreicht. Um das also bewerkstelligen zu können, brauchen wir die 0-Stellen dieser Funktion. Und das geht so: Ich habe das schon in einem anderen Film gezeigt, da geht es um 0-Stellen ganz rationaler Funktionen 3. Grades. Deshalb zeige ich hier nur kurz, wie man es machen kann. Also, wir haben die Funktion 3. Grades, wir setzen die =0, indem wir den Funktionsterm =0 setzen. Eine 0-Stelle muss man hier raten, oder aus einem anderen Sachzusammenhang hernehmen. Die ist hier beispielsweise x1=-1. Und hier hab ich getestet, dass das auch wirklich stimmt, dass es eine 0-Stelle ist. Denn wenn man für x die 0 einsetzt, dann kommt hier 0 heraus. Jetzt können wir den Funktionsterm, den hier, durch x - 0-Stelle teilen. Weil die 0-Stelle =-1 ist, rechnen wir also x--1 und das ist +1. Und das Teilen macht man mit der Polynomdivision, die ich hier jetzt  auch nicht weiter im Einzelnen zeigen möchte. Da hab ich auch 1-2 Filme dazu gemacht, zur Polynomdivision. Und habe das auch, wo es um die 0-Stellen ganz rationaler Funktionen 3. Grades geht, etwas deutlicher gezeigt, bzw. beim Lösen der Gleichungen 3. Grades. Also bei der Polynomdivision kommt hier heraus: x²+5x+6. Und wir können diese Funktion, die gegeben ist, jetzt so schreiben f(x)=(x+1)×(x²+5x+6). Wir können jetzt von diesem Faktor hier die 0-Stellen finden, indem wir die dazugehörige quadratische Gleichung bilden. Und die ist hier. Also wir setzen diesen Faktor einfach =0 und können dann die PQ-Formel anwenden und erhalten dann die beiden weiteren Lösungen: x2=-2; x3=-3. Nun haben wir alle 0-Stellen der gegebenen Funktion, nämlich -1,-2,-3 und können uns nun an die Integration machen. Zunächst brauchen wir eine Stammfunktion. Ich hab das hier einmal als unbestimmtes Integral hingeschrieben. Unbestimmt deshalb, weil hier keine Grenzen daran stehen. Nur, damit man einmal sieht, was die Stammfunktion ist, nämlich die, die wir verwenden wollen.  Jetzt müssen wir die bestimmten Integrale folgendermaßen bilden. Wir suchen ja die Fläche zwischen Graph und x-Achse, die bezeichnen wir mit großem A und müssen jetzt von der linken Integrationsgrenze bis zur nächstliegenden 0-Stelle der Funktion das bestimmte Integral bilden und das in Betragstriche setzen. Dann von dieser 0-Stelle bis zur nächsten 0-Stelle das bestimmte Integral dieser Funktion bilden und in Betragstriche setzen. Beide Integrale addieren, oder genauer gesagt die Beträge der Integrale. Dann geht es von der 0-Stelle -2 bis zu der 0-Stelle -1. Und dann von -1 bis zu der rechts gelegenen Integrationsgrenze -0,5. Alle Beträge dieser Integrale müssen dann addiert werden und die ergeben dann den Flächeninhalt. Das hab ich jetzt nicht im Einzelnen aufgeschrieben, das ist meiner Ansicht nach eine typische Computeraufgabe. Wenn man das alles in den Taschenrechner eintippen wollte, dann wird man ja ganz tüterig. Ich habe das nicht gemacht. Wenn solche Aufgaben gestellt werden, dann meistens im Zusammenhang, dass man das mit einem Computerprogramm oder mit einem Algebrasystem lösen soll. Und damit ist hier diese Betrachtung beendet. Du kannst Dir natürlich noch vorstellen, um welche Flächen es geht. Ich habe da schon mal etwas angefangen zu zeichnen. Also hier geht es bis -4, dann ist hier eine Fläche, die ich jetzt nicht bis ganz unten zeichnen konnte. Diese Fläche plus diese Fläche plus diese. Und -0,5 ist ungefähr hier. Diese Fläche kommt auch noch hinzu. Dann kannst du dir ungefähr größenordnungsmäßig vorstellen, was da rauskommen muss, wenn Du die Funktion zeichnest oder vom Computerprogramm zeichnen lässt. Und damit ende ich hier ohne Ergebnis. Mir macht das nichts. Es gibt Leute, die möchten unbedingt eine Zahl da stehen haben. Wenn du zu den Leuten gehörst, tippe es ein in deinen Taschenrechner oder Computer und dann wirst Du die Zahl finden. Viel Spaß damit, tschüss.

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    find ich auch -.-

    Von Stauscher, vor 10 Monaten
  2. Default

    zum überprüfen des Ergebnisses wäre es sinnvoll gewesen das Ergebnis zu nennen!

    Von N Sfairi, vor mehr als einem Jahr