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Transkript Ableitungen der Arcusfunktionen

Hallo, in diesem Video wollen wir uns die Ableitungen der Arcusfunktionen herleiten. Die Arcusfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Sinus, Kosinus und Tangens. Und für die Ableitungen von Umkehrfunktionen gibt es eine ganz tolle Formel. Die schauen wir uns mal an. Ist f eine Funktion, die zumindest auf einem Intervall umkehrbar, und dort auch differenzierbar ist und ist f´ an der Stelle x0 nicht 0, so gilt für die Ableitung der Umkehrfunktion folgende Formel: Die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle y0 = 1/ die Ableitung der Funktion an der Urbelstelle von y0. Also quasi an dem x0, was zu dem y0 gehört. So und diese Formel werden wir jetzt für die ganzen Ableitungen die wir berechnen nutzen. Als Erstes schauen wir uns f von x= Sinus x und die Umkehrfunktion Arcus Sinus x an. Da will ich noch mal kurz den Graphen skizzieren. Wir beschränken die Sinusfunktion auf das Intervall -Pi Halbe bis Pi Halbe, denn ansonsten können wir sie gar nicht umkehren. Und die Umkehrfunktion sieht dann so aus. So, wir wollen also Arcus Sinus ´ von y0 ausrechnen. Ich bezeichne jetzt immer die Argumente von Sinus mit x und die Argumente von der Umkehrfunktion mit y. Deswegen hier Arcus Sinus ´ von y0. Y0 ist also dann Sinus von x0. Jetzt wenden wir die Formel an. 1/f´, das ist also Sinus´, f^-1, das ist Sinus^-1von y0. Sinus ^-1 von y0, das ist x0, das haben wir ja gerade gesagt und die Ableitung von Sinus ist Cosinus. Unser Argument da oben können wir auch schreiben als Sinus x0 und deswegen müssen wir jetzt versuchen Cosinus x0 mithilfe des Arguments, also Sinus x0 auszudrücken. Und da erinnern wir uns an die Formel Sinus²+Cosinus²=1 und das lässt sich dann umstellen zu Cosinus x0= sqrt1-Sinus x0². Und Sinus x0 ist ja gerade y0. Wir können also Cosinus x0 ersetzen durch die Wurzel aus 1-y0² und dann haben wir auch einen Term, wo wirklich dann das Argument drin vorkommt. Wenn man jetzt das Argument ganz allgemein mit x bezeichnet, dann ist also Arcus Sinus´ von x = 1: Wurzel 1-x². Das sollte man sich merken. So, jetzt gucken wir uns mal Cosinus und Arcus Cosinus an. Hier noch mal die Graphen. Und der Arcus Tangens ist dementsprechend für alle Werte von Minus-Unendlich und Plus-Unendlich definiert, nimmt aber nur Werte echt größer Minus Pi halbe und echt kleiner Pi halbe an. Und Arcus Cosinus ´ von y0 ist dann 1/Cosinus´ von Cosinus^-1 von y0. Ich habe also wirklich nur an der Formel oben überall für f Cosinus eingesetzt. Das Urbild von y0, das soll ja x0 sein und Cosinus´ ist -Sinus. Das Argument lässt sich auch schreiben als Cosinus x0 und deswegen müssen wir wieder den Term in der Formel mithilfe von Cosiuns x0 ausdrücken. Das geht genau so wie eben. Man erhält dann Sinus x0 ist gleich Wurzel aus 1-Cosinus² von x0 und Cosinus von x0 ist ja gerade y0. In der Formel kann ich also schreiben: Wurzel aus 1-y0². Damit ist Arcus Cosinus´ von x=-1/Wurzel aus 1-x². Jetzt fehlen noch Tangens und Arcus Tangens. Der Tangens ist definiert für das offene Intervall von -Pi halbe bis Pi Halbe, also an den Grenzen nicht. Die Funktionswerte streben dort jeweils gegen Minus-Unendlich bzw. Unendlich. Und der Arcus Tangens ist dementsprechend für alle Werte von Minus-Unendlich und Plus-Unendlich definiert, nimmt aber nur Werte echt größer Minus Pi halbe und echt kleiner Pi halbe an. Die Ableitung des Arcus Tangens an der Stelle y0 ist dann also 1/Tangens´von Tangens^-1, also Arcus Tangens von y0. So, das in der Klammer wollten wir ja eigentlich schreiben als x0. Jetzt müssen wir uns noch mal daran erinnern, dass die Ableitung von Tangens 1+Tangens² ist. Das heißt, wir können hier schreiben, 1+Tangens x0². Und unser Argument y0 ist ja gerade Tangens x0. Das heißt, wir haben Glück, denn wir haben das Argument direkt in unserem Term schon drin stehen. Damit ist also Arcus Tangens´ von x = 1:1+x². So und jetzt möchte ich zusammenfassend noch sagen, die Sinusfunktion hat also Argumente von - Pi Halbe bis Pi Halbe, wobei die Randwerte auch definiert sind und die Funktionswerte sind entsprechend Werte von  -1 bis 1, wobei auch die Randwerte angenommen werden. Und die Umkehrfunktion geht entsprechend vom Intervall -11 ins Intervall - Pi Halbe Pi halbe. Die Ableitung des Arcus Sinus 1:Wurzel 1-y² ist genau für y=-1 und y=1 nicht definiert. Der Definitionsbereich des umkehrbaren Cosinus ist das Intervall von 0 bis Pi und die Funktionswerte gehen von -1 bis 1. Das heißt, da ist oben die Formel nicht definiert. Der Definitionsbereich des umkehrbaren Cosinus ist das Intervall von 0 bis Pi und die Funktionswerte gehen von -1 bis 1. Weil bei beiden gehören die Ränder dazu. Und die Umkehrfunktion geht entsprechend vom Intervall -1 1 ins Intervall 0 bis Pi. Die Ableitung von Arcus Cosinus, also -1/Wurzel 1-y² ist genau an den Stellen y=-1 und 1 wieder nicht definiert, die x-Werte die dazugehören, 0 und Pi. Und das sind genau die Werte wo Cosinus´ , also -Sinus 0 wird und der Term da oben nicht definiert ist. In den umkehrbaren Tangens kann man Werte zwischen Pi Halbe und Pi Halbe einsetzen, aber ohne die Ränder und es kommen alle möglichen reellen Zahlen dafür raus. Der Arcus Tangens geht entsprechend von ganz r in das offene Intervall - Pi Halbe bis Pi Halbe. In die Ableitung von Arcus Tagens, also 1+1+y² kann man alle beliebigen Werte einsetzen, denn hier hat die Ableitung der Ursprungsfunktion keine Nullstellen. So, wir haben also gesehen, dass der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion wirklich ein sehr schönes Hilfsmittel ist, denn um diese Ableitungen auszurechnen, hätte man mit anderen Methoden sicher ganz schön ekelige Rechnungen bekommen. Okay, das war es.

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2 Kommentare
  1. Default

    Super klasse Video ...... :)

    Von Nancy2705, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Super Video!
    Ich fände es noch besser, wenn vor allen Dingen das Geschriebene noch ein bisschen langsamer ist, aber dafür gibt es j eigentlich auch die Stopp-Taste.

    Von Deleted User 2550, vor mehr als 7 Jahren