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Transkript Ableitung einer Funktion

Okay, wir machen heute das Ableiten einer Funktion. Was wollen wir machen? Wir schauen uns eine Funktion an, hier haben wir unser Koordinatensystem und das ist unsere Funktion f(x). Das Ableiten fragt sich, wenn wir uns eine Tangente an eine bestimmte Stelle legen, zum Beispiel hier, diese Stelle nennen wir x0 und fragen, wie stark ist dieser Anstieg? Dann können wir das mit der Ableitung beantworten. Antwort: Ableitung von f. Schauen wir uns einen kleineren Abschnitt der vorigen Skizze noch einmal an. Wir haben hier unseren Graphen und hier unsere Stelle x0, an der wir die Ableitung bilden wollen. Und jetzt schauen wir uns die sogenannten Sekanten an der Stelle an, das sind solche Geraden. Hier einen Abstand von x0 der Länge x0+h, das heißt, das hat die Länge h und wir gucken uns jetzt dieses Dreieck hier an. Wie gesagt, das hier unten hat die Länge h und hier wissen wir, dass das die Höhe f(x0) ist und an der Stelle haben wir f(x0+h). Also hat dieser Teil des Dreiecks eine Länge von f(x0+h)-f(x0). Wir wollten aber den Anstieg der Tangente wissen, das heißt etwa diesen Anstieg. Wie machen wir das nun? Das heißt, das ist in dem Sinne kein Problem, wir könnten mit h weiter gegen unser x0 wandern und damit wandert auch hier das weiter. Dann kriegen wir den Anstieg an der Stelle x0. Das heißt, wir gehen mit h gegen 0 und gucken uns dann das Verhältnis an von dem bereits berechneten Abstand f(x0+h)-f(x0) im Verhältnis zu h. Übrigens dieses f(x0+h)-f(x0)/h heißt Differenzenquotient. So und um nun den Anstieg der Tangente zu erhalten, müssen wir - wie bereits erwähnt - mit h gegen 0 gehen. Das heißt, wie bilden den Grenzwert für h gegen 0 als Differenzenquotient. Das heißt f(x0+h)-f(x0)/h. Dieser Grenzwert den bezeichnen wir mit f' an der Stelle x0. Sofern er existiert, heißt er Ableitung von f an x0. Ein Beispiel: Wir haben die Funktion f(x)=x², einmal an der Stelle x0 ableiten, das heißt, ableiten an x0. Und wir schreiben lim h gegen 0 von f(x0+h), das heißt also (x0+h)²-x0²/h=lim. Nun jeder kennt die binomische Formel, das ist für h gegen 0; x0²+2h×x0+h²-x0/h. Und wenn wir uns das jetzt anschauen, können wir das und das wegkürzen, wir können das und das wegkürzen und wir können das mit dem hier wegkürzen. Das heißt, es steht nur noch da lim h gegen 0 von 2×x0+h. Wenn wir mit h gegen 0 gehen, steht da 2×x0.

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2 Kommentare
  1. Tokyoghoulheader

    Ich rieche den Edding bis hierher

    Von Santino C., vor 7 Monaten
  2. Default

    Ach jetzt hab ich das verstanden :)
    Danke :)

    Von Nadine Dinges, vor fast 3 Jahren