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Scharen von Exponentialfunktionen – Extrema – Übungen

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Gegeben ist eine Funktionenschar mit Kettenlinien. Gesucht sind die Extrema der Funktionen. Da schon bekannt ist, dass es sich um Funktionen handelt, die symmetrisch zur y-Achse sind und die Tragseile von Hängebrücken modellieren, kann man zwar vermuten, dass die Extrema bei x=0 sind, trotzdem muss man es rechnerisch nachweisen. Das geht wie gewohnt mit einer der hinreichenden Bedingungen (hinreichende Bedingung mit zweiter Ableitung oder Vorzeichenwechselkriterium). Die beiden Parameter der Funktionenschar kannst du dabei einfach wie Zahlen behandeln.

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Aufgaben in dieser Übung
Bestimme die ersten beiden Ableitungen der Funktion $f_{a,~c}(x)=\frac{a}{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)$.
Berechne den Tiefpunkt der Funktion $ f_{a,~c}(x) =\frac a{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)$.
Berechne zu der jeweiligen Funktion die erste Ableitung.
Untersuche die Funktion $f_a(x)=(x+a)e^{-x}$ auf Extrema.
Gib an, wie man eine Funktion auf Extrema untersucht.
Leite das Extremum der Funktionsschar $f_a(x)=e^{ax^2}$ mit $a>0$ her.