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Einleitung quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen sind spezielle Funktionen. Es handelt sich um ganzrationale Funktionen zweiten Grades. Quadratische Funktionen haben die Funktionsglichung f(x) = a x² + b x + c mit a verschieden von 0, welche auch als Normalform bezeichnet wird. c wird dabei absolutes Glied genannt.

Für a = 0 handelt es sich um lineare Funktionen. Durch quadratische Ergänzung kann man quadratische Funktionen in die sogenannte Scheiteitelpunktform f(x) = a (x-d)² + e überführen. Der dazugehörige Scheitelpunkt lautet S(d|e).

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

In mehreren Schritten kommst du von der Normalform f(x) = a x² + b x + c zur Scheitelpunktform. Zunächst klammerst du den Vorfaktor a aus; dabei bleibt das absolute Glied unberührt:

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: Schritt 1

Als nächstes führst du die quadratische Ergänzung durch, indem du einen quadratischen Term addierst und wieder abziehst:

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: Schritt 2

Nun kannst du die erste binomische Formel (a+b)² = a² + 2ab + b² anwenden:

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: Schritt 3

Zum Schluss wird der Term noch vereinfacht zur Scheitelpunktform:

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: Schritt 4

Der dazugehörige Scheitelpunkt lautet:

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: Schritt 5

Beispiel: Die quadratische Funktion f(x) = 2 x² + 4x + 6 soll in Normalform überführt werden. Zunächst klammerst du in der Summe jeweils 2 aus bis auf die 6:

f(x) = 2 (x² + 2x) + 6

Mit der quadratischen Ergänzung erhältst du

f(x) = 2 (x² + 2x + 1² - 1²) + 6

Nun kannst du die erste binomische Formel anwenden:

f(x) = 2 ((x+1)² - 1²) + 6

Nachdem der Term auf der rechten Seite vereinfacht wurde, erhalten wir die Scheitelpunktform:

f(x) = 2 (x+1)² + 4

Der Scheitelpunkt kann damit als S(-1|4) bestimmt werden.

Alternativ kann man den Scheitelpunkt auch mit Hilfe der Differentialrechnung ermitteln. Am Scheitelpunkt ist der Tangentenanstieg gerade Null, sodass die erste Ableitung f’(x) = 2ax + b der quadratischen Funktion f(x) = a x² + b x + c Null sein muss:

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: Schritt 6

Zur Formel

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: Schritt 7

lautet der y-Wert damit wiederum:

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: Schritt 8

Funktionsgraphen quadratischer Funktionen

Die Graphen quadratischer Funktionen werden als Parabeln bezeichnet. Die Normalparabel ist der Funktionsgraph zur Funktion f(x) = x², der durch die Parameter a, b und c in der Scheitelpunktsform f(x) = a (x-d)² + e_ verändert wird.

  • Einfluss des Parameters a: Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet. Für a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet. Falls |a| > 1 wird die Parabel in y-Richtung gestreckt, d.h. der Funktionsgraph ist schmaler als die Normalparabel. Falls |a| < 1 wird die Parabel in y-Richtung gestaucht, d.h. der Funktionsgraph ist breiter als die Normalparabel.

Quadratische Funktionen: Einfluss des Parameters a

Beispiel: Die Parabel zu g(x) = 2 x² ist schmaler und die Parabel zu h(x) = 0,5 x² ist breiter als die Normalparabel. l(x) = -x² ist die an der x-Achse gespiegelte Normalparabel und somit ist sie nach unten geöffnet.

  • Einfluss des Parameters d: Für d > 0 wird die Parabel um d Einheiten in positiver x-Richtung nach rechts verschoben. Für d < 0 wird die Parabel um d Einheiten in negativer x-Richtung nach links verschoben.

Quadratische Funktionen: Einfluss des Parameters d

Beispiel: Der Funktionsgraph zu g(x) = (x-1)² ist die um eine Einheit nach rechts verschobene Normalparabel. Die Parabel zur quadratischen Funktion h(x) = (x+1)² ist hingegen um eine Einheit nach links verschoben.

  • Einfluss des Parameters e: Für e > 0 wird der Funktionsgraph um e Einheiten in positive y-Richtung nach oben verschoben. Für e < 0 wird der Funktionsgraph um e Einheiten in negative y-Richtung nach unten verschoben.

Quadratische Funktionen: Einfluss des Parameters e

Beispiel: Der Funktionsgraph zur quadratischen Funktion g(x) = x² + 1 ist um die um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel. Wenn die Normalparabel um eine Einheit nach unten verschoben wird, dann erhältst du die quadratische Funktion h(x) = x² - 1.