Einleitung Zinsen

Wenn du Geld bei einer Bank oder Sparkasse sparst, bekommst du dafür Zinsen. Der Zinssatz gibt an, wie viel Prozent des Guthabens du jährlich als Zinsen bekommst. Leiht man sich Geld von einer Bank, informiert der Zinssatz darüber, wie viel Prozent der Schulden man in einem Jahr als Zinsen bezahlen muss. Wenn die Zeit kürzer als ein Jahr ist, werden Tageszinsen berechnet. Die Zinsen sind dann entsprechend niedriger.

Jahreszinsen berechnen

Lisa bekam früher für ihr Sparguthaben 2,5 % Zinsen. Man sagt: Der Zinssatz betrug 2,5 % (heutzutage sind die Zinssätze leider viel niedriger). Ihr Guthaben betrug zu Beginn des Jahres 600 Euro. Wie viel Zinsen erhält sie am Ende des Jahres?

Du kannst die Formeln aus der Prozentrechnung benutzen, wenn du die entsprechenden Begriffe verwendest:

  • ProzentrechnungZinsrechnung
  • Grundwert G → Kapital G
  • Prozentsatz p % → Zinssatz p %
  • Prozentzahl p → Zinszahl p
  • Prozentwert W → Zinsen Z

Die Formel zur Berechnung der Jahreszinsen ist:

Formel Berechnung Jahreszinsen

In unserem Beispiel ergibt das Einsetzen der Zahlen:

Formel Berechnung Jahreszinsen Beispiel

Die Zinsen für ein Jahr betrugen also 15 Euro.

Diese Zinsen wurden jeweils am Jahresende dem Konto gutgeschrieben. Lisa hatte also zu Beginn des neuen Jahres 615 Euro auf ihrem Sparkonto.

Dieses Beispiel bezieht sich auf ein ganzes Jahr, man spricht deshalb auch von Jahreszinsen.

Tageszinsen berechnen

Ist der Zeitraum, in dem Zinsen anfallen kürzer, musst du die Zinsen für eine bestimmte Anzahl an Tagen berechnen. Man spricht dann von Tageszinsen.

In der Zinsrechnung wird das Jahr mit 360 Tagen und jeder Monat mit 30 Tagen gerechnet.

Um die Zinsen für eine bestimmte Anzahl von Tagen zu berechnen, musst du deshalb die Jahreszinsen durch 360 dividieren und anschließend mit der Anzahl der Tage multiplizieren.

Die Zinsformel lautet jetzt:

Formel Berechnung Tageszinsen Beispiel

Dabei steht t für die Anzahl der Tage.

Angenommen, Lisa hat ihr Geld bereits nach 80 Tagen abgehoben. Dann erhält sie folgende Zinsen:

Formel Berechnung Jahreszinsen Beispiel

Die Zinsen betragen also 3,33 Euro für 80 Tage.

Zinssatz berechnen

Ein weiterer Aufgabentyp aus der Zinsrechnung besteht darin, aus bekannten Zinsen den Zinssatz auszurechnen. Ein Beispiel:

Herr Jung hat bei seiner Bank ein Baudarlehen in Höhe von 60 000 Euro aufgenommen. Er muss dafür im Monat 150 Euro Zinsen zahlen. Wie hoch ist der Zinssatz?

Gegeben sind die monatlichen Zinsen, d.h. die Zinsen für 30 Tage (siehe oben). Zur Berechnung stellst du also die Zinsformel für die Tageszinsen nach p um und setzt ein:

Zinssatz berechnen Beispiel

Der Zinssatz beträgt damit 3 %.

Kapital berechnen

Für die Berechnung des Kapitals löst man die Zinsformel nach K auf. Ein Beispiel:

Familie Hellmann will zum Bauen ein Darlehn aufnehmen. Für die Zinsen kann sie im Monat höchstens 600 Euro ausgeben. Die Bank verlangt einen Zinssatz von 4 %. Wie hoch darf das Darlehen höchstens sein?

Du löst die Zinsformel nach K auf und setzt ein:

Kapital berechnen Beispiel

Familie Hellmann kann also ein Darlehen von höchstens 180 000 Euro aufnehmen.

Zinseszinsen berechnen

Wenn Geld länger als ein Jahr angelegt ist, werden die Zinsen in den folgenden Jahren mitverzinst. Man spricht deshalb von Zinseszinsen.

In der Tabelle ist dargestellt, wie Lisas Sparguthaben von 600 Euro bei einem Zinssatz von 2,5 % in fünf Jahren anwächst. Lisa hebt die Zinsen am Ende des ersten Jahres nicht ab, sondern lässt sie auf dem Konto. Das Kapital am Ende eines Jahres wird deshalb zum Anfangskapital des nächsten Jahres.

Jahr 1: 600,00 EUR Anfangskapital, 15,00 EUR Zinsen, 615,00 EUR Endkapital

Jahr 2: 615,00 EUR Anfangskapital, 15,38 EUR Zinsen, 630,38 EUR Endkapital

Jahr 3: 630,38 EUR Anfangskapital, 15,76 EUR Zinsen, 646,13 EUR Endkapital

Jahr 4: 646,13 EUR Anfangskapital, 16,15 EUR Zinsen, 662,29 EUR Endkapital

Jahr 5: 662,29 EUR Anfangskapital, 16,56 EUR Zinsen, 678,84 EUR Endkapital

Das Sparguthaben ist also nach fünf Jahren um 78,84 Euro angewachsen. Ohne die Zinseszinsen wären nur 75,00 Euro Zinsen hinzugekommen.

Allgemein lautet die Zinseszinsformel für das Kapital, das sich nach n Jahren aus einem Anfangskapital entwickelt:

Zinseszins-Formel

Dabei ist p die Zinszahl, p% also der Zinssatz.

Mit der Zinseszinsformel kannst du das Kapital nach fünf Jahren im obigen Beispiel sofort berechnen und musst dich nicht von Jahr zu Jahr „hangeln“:

Zinseszins-Formel Beispiel