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Transkript Wurzeln – Rationalmachen des Nenners 5

Hallo! Hier kommt eine kleine Aufgabe zum Rationalmachen des Nenners. Wir haben \sqrt3/ (2+\sqrt3). Der Nenner ist jetzt nicht rational und wir wollen den Nenner rational machen. Wie kann man das machen? Ich sags nur noch mal der Vollständigkeit halber: Man kann nicht mit \sqrt3 kürzen. Im Nenner steht eine Summe, und man kann aus Summen nicht kürzen, nur das mir das keine Missverständnisse gibt, also \sqrt3 können wir nicht kürzen, weil es in einer Summe steht. Jetzt könnte man sich sagen: "Naja, ich erweitere einfach mit dem gesamten Nenner". Gucken wir mal, was dann passiert, aber auch das würde nichts bringen, weil nämlich, wenn man mit (\sqrt2+3) erweitern würde, müsste man ja die binomische Formel anwenden, dann wäre das hier a, das wäre b, und dann hätten wir da stehen a²+2ab+b², und in den 2ab wäre dann 2×a×b drin, a=2, b=\sqrt3, und damit ist die Wurzel immer noch im Nenner und der Nenner ist nicht rational geworden. Was kann man hier machen? Hier muss man was anderes machen als das, was ich mal in dem Schema gezeigt habe, wie man Nenner rational macht. Das ist hier eine andere Methode, und deshalb erklär ich sie einfach mal. Man kann hier nämlich die 3. binomische Formel verwenden und zwar indem man erweitert mit (2-\sqrt3). Die 3. binomische Formel lautet ja (a+b)(a-b)=(a²-b²), und das kann man sich hier zunutze machen, wenn ich die 2 quadriere, kommt eine rationale Zahl raus, wenn ich \sqrt3 quadriere auch. Die Summe zweier rationaler Zahlen ist wieder eine rationale Zahl. Damit ist dann der Nenner rational. Und das, was ich jetzt allgemein gesagt habe, das schreib ich jetzt eben noch mal auf. Hier ist der Bruchstrich. Ich möchte mich jetzt eben zunächst um den Nenner kümmern. Hier haben wir also a und das ist b aus der binomischen Formel. a²=4 in dem Fall, wenn a=2 und b², also Minus kommt hier hin, b² ist (\sqrt3)² und das ist 3. 4-3 steht im Nenner. Im Zähler haben wir \sqrt3×2- ja, \sqrt3×\sqrt3, ich wende jetzt hier das Distributivgesetz an für den Zähler, ist klar denk ich, muss ich nicht nochmal sagen. \sqrt3×\sqrt3, das ist 3. Und dann, weil wir ja im Nenner eine 1 stehen haben, irgendwas geteilt durch 1 ist dieses irgendwas wieder, deshalb kommt hier also raus 2\sqrt3, normalerweise schreibt man das ja so rum. Nicht \sqrt3×2, sondern man schreibt 2\sqrt3, das ist ein bisschen einfacher, ein bisschen klarer, aber so wäre das natürlich auch richtig, -3. Und das könnte man jetzt noch abschätzen und so weiter, mach ich jetzt nicht mehr, ich wollte jetzt nur die Methode vorstellen. Wenn du also eine Summe im Nenner hast, dann solltest du gleich an die 3. binomische Formel denken, denn damit kannst du dann den Nenner rational machen. Vielleicht nicht in allen Fällen, aber wenn so was kommt, solltest du an die 3. binomische Formel denken. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Default

    welcher john?

    Von Office Daniele Lang, vor 2 Monaten
  2. Flyer wabnik

    Danke für den Hinweis, John U.

    Von Martin Wabnik, vor etwa 5 Jahren
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