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Transkript Wachstum – Zukünftigen Wert berechnen

Hallo! Wir machen: Gerhard Goethe geht einkaufen für andere Leute und macht damit Gewinn. In der 1. Woche hat er 27,00Euro Gewinn, in der 2. Woche 9,00Euro usw., in der 7. Woche hat er 32,00Euro Gewinn. Jetzt bekommen wir eine Zusatzinformation, und zwar die hier. Der Gewinn steigt in den nächsten 3 Wochen um durchschnittlich 2,00Euro pro Woche. Die Fragen, die sich jetzt hier anstellen, sind: 1. Wie hoch ist der Gewinn in der 10. Woche? 2. Was kannst du über die Gewinnentwicklung in der 8. und 9. Woche sagen? Jeweils natürlich mit dem Zusatz: Begründe deine Antwort. In der 10. Woche, das ist klar, 3 Wochen weiter, ab der 7. Woche hier. Wir wissen, der Gewinn steigt um durchschnittlich 2,-Euro, das sind also 3×2,00Euro, ist der Gewinn dann in der 10. Woche höher. Das sind also dann 6,00Euro. Und der Gewinn ist nicht 6,00Euro, sondern 6,00Euro höher als in der 7. Woche, da war es 32,00Euro, und 32,00Euro+6,00Euro=38,00Euro. Das ging ja schnell, vielleicht zu schnell, mal kucken. Frage 2 war, was können wir über den Zwischenraum sagen, was können wir über die Gewinnentwicklung in der 8. und 9. Woche sagen. Und da machen viele Leute den Fehler und sagen sich: „Ja, wenn er durchschnittlich um 2,00Euro steigt ist er in der 8. Woche 2,00Euro höher als hier, in der darauf folgenden Woche wieder 2,00Euro höher und dann noch mal um 2,00Euro höher.“ Und das ist falsch. Das ist falsch, das kann man so nicht machen. Denn hier steht nur, dass der Gewinn um durchschnittlich 2,00Euro steigt, nicht dass er in jeder Woche um 2,00Euro steigt, und das ist ein großer Unterschied. Noch mal: Hier steht nicht, dass der Gewinn in jeder Woche um 2,00Euro steigt. Es steht da nur, dass er um durchschnittlich 2,00Euro gestiegen ist, und um das jetzt noch mal etwas plastischer zu machen. Wie kommt man dann auf diese Rechnung? Man muss sich überlegen: Wie wird denn ein durchschnittlicher Gewinn ausgerechnet? Der durchschnittliche Gewinn wird ausgerechnet, indem man den Gewinn am Ende des Zeitraumes nimmt, der ist hier x, das war ja gefragt, in der 1. Frage. Wie hoch ist der Gewinn in der 10. Woche? Also nach diesen 3 Wochen. Das ist x, das wissen wir noch nicht. Wir müssen davon abziehen, den Gewinn am Anfang dieses Zeitraums da, nämlich 32,00Euro hier, in der 7. Woche. Das müssen wir teilen durch die Anzahl der Zeitabschnitte, hier sind es jetzt Wochen, also 3 Wochen. Und da kommt dann der durchschnittliche Gewinn raus, nämlich 2,00Euro. Das ist die Formel, mit der man den durchschnittlichen Gewinn berechnet. Und die müsste ich jetzt umstellen, um die Frage 1 zu beantworten, wie hoch ist der Gewinn in der 10. Woche. Hier muss ich umstellen, nämlich mal 3 multiplizieren, da steht hier x-32=2×3, und dann natürlich +32 auf beiden Seiten. Ist dann x=32+6+2×3, und das ist gleich 38. Das ist die Rechnung dazu, eigentlich. Zur Frage 1. Jetzt wird sich mancher denken: „Ja, wieso hat der denn nicht am Anfang gesagt, dass man einfach nur jeweils 2,00Euro dazutun muss?“ Vorsicht! Was ich gesagt habe, ist eigentlich das, was hier steht. Dass man nämlich 3×2,00Euro rechnen muss, das steht hier auch, 3×2,00Euro, und diesen Betrag muss man zum Anfangsgewinn, zum Gewinn am Anfang des Zeitraums, dazuaddieren. Das ist hier auch gemacht worden. Und da kommt dann zusammengefasst natürlich 32+6 raus, was 38 ist. Ich habe nicht gesagt, dass der Gewinn in der 8. Woche, also 1 Woche hier nach, dass der Gewinn 34,00Euro ist. Ich habe auch nicht gesagt, dass der Gewinn in der 9. Woche 36,00Euro ist, dass er also jede Woche um 2,00Euro steigt, das nicht. Ich habe nur gesagt, dass man den Gewinn in der 10. Woche mit 32+6 ausrechnen kann. Die Begründung also für die Aufgabe 1, wie hoch ist der Gewinn in der 10. Woche, ist also diese Rechnung. Zu Frage 2, was kann man über die 8. und 9. Woche sagen? Antwort: Gar nichts. Und wie kann man das begründen, dass man dazu nichts sagen kann? Man kann es eigentlich nur jetzt mathematisch vernünftig so begründen, dass in die Berechnung des Durchschnittsgewinns in diesem Fall hier die 8. und 9. Woche gar nicht mit eingeht. Wir haben ja die Werte von der 8. und 9. Woche hier überhaupt nicht benutzt. Wir haben benutzt, den Gewinn am Ende des Zeitraums, am Ende der 3 Wochen. Hier also in der 10. Woche. Wir haben auch verwendet, den Gewinn am Anfang des Zeitraums, also hier 32,00Euro in der 7. Woche. Wir haben die Anzahl der Wochen benutzt und den durchschnittlichen Gewinn errechnet. Wir haben nicht verwendet die 8. und 9. Woche, also alle Gewinnzeitpunkte, die sich zwischen Anfang und Ende des Zeitraums befinden, und deshalb kann man aus der Information des durchschnittlichen Gewinns also auch nichts über den Zwischenraum sagen, über die Zeit zwischen Anfang und Ende, so heißt das richtig. Ich möchte das noch mal eben zeigen, an einer Grafik. Eben schnell gemacht. Hier haben wir 7. Woche mit 32,00Euro, wir haben 10. Woche mit 38,00Euro Gewinn. 2 Punkte eintragen und dann stellen wir uns die durchschnittliche Gewinnsteigerung so vor. Das heißt aber nicht, das der Gewinn tatsächlich hier so angestiegen ist, also linear angestiegen ist. Der Gewinn könnte, nur mal so als Beispiel zum Durchrechnen, könnte ja auch ab hier jetzt, in der 8. Woche, um 10,00Euro steigen, in der 9. Woche um 12,00Euro fallen und in der 10. Woche wieder um 8,00Euro steigen. Dann hätten wir auch eine durchschnittlich Steigerung um 2,00Euro und der Gewinn wäre dann in der 10. Woche 38,00Euro. Und das könnte hier im Schaubild irgendwie völlig durcheinander aussehen. Dass der Gewinn also so was macht, hier. So ungefähr hin und her springt. Der kann auch noch öfter hin und her springen, das wissen wir alles nicht. Wir wissen nur, am Anfang war er hier, am Ende ist er da. Wenn wir also was über den Durchschnitt wissen. Was er dazwischen gemacht hat, wissen wir nicht. Ich glaube, deutlicher wird´s nicht mehr, dass ist hier die grafische, anschauliche Begründung. Aber die eigentliche Begründung ist halt, dass in der Berechnung des durchschnittlichen Gewinns die Gewinne zwischen Anfang und Ende des Zeitraums nicht vorkommen. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss!

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